中北大学2011届毕业设计说明书
K?[R?BTPB]?1BTPA (4-8)
P(k)也变成常数矩阵P：
P?Q?AT[P?1?BR?1BT]?1A (4-9) 对应的最优控制序列为：
u*(k)??Kx(k)??[R?BTPB]?1BTPAx(k) (4-10) 闭环系统的状态方程为：
x(k?1)?Ax(k)?Bu(k)?[A?B(R?BPB)T?1BPA]x(k)?(I?BRT?1BP)T?1Ax(k)
以及最优性能指标仍为： J*?12x(0)P(0)x(0) （4-11）
T4.2 离散系统线性二次型最优控制的MATLAB实现与示例
在MATLAB的工具箱里，有特别提供的函数来求解离散系统稳态线性二次型状态调节器问题。其函数有dlqr()与dlqry()。函数的调用格式为：
[K,S,E]?dlqr(A,B,Q,R,N)[K,S,E]?dlqry(A,B,C,D,Q,R,N)
其中，输入参量A为系统的状态矩阵；B为系统的输入矩阵；Q为给定的正定或半正定实对称矩阵；R为给定的正定实对称矩阵；N代表更一般化性能指标中交叉乘积项的加权矩阵。输出参量K为离散最优反馈增益矩阵；S为Riccati方程的唯一正定解P；E为A-BK的特征解。
函数dlqry()用来求解二次型状态调节器的特例，这个特例就是用输出反馈替代状态反馈，即有：
u(k)??Ky(k) (4-12) 其性能指标为：
J?1?T[y?2k?0(k)Qy(k)?u(k)Ru(k)] (4-13)
T【例4-1】以知伺服系统动态结构状态方程为
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x(k?1)?ax(k)?bu(k)u(k)?k1v(k)?k2x(k)v(k)?r(k)?y(k)?v(k?1)y(k)?cx(k)
式中
a=0.5, b=1, c=1, d=0
利用GUI工具箱设计一界面使其满足在点击【反馈矩阵Kx】键时在输出框中输出系统稳态最优反馈增益矩阵，在点击【Step response】键时在轴上画出相应的系统闭环后的单位阶跃给定响应曲线。 【解】 由v(k)有：
（vk+1)=r(k+1)-y(k+1)+v(k)=-cax(k)+v(k)-cbu(k)+r(k+1) 由x(k?1)与v(k?1)写出矩阵，对于系统稳态，k??，以上矩阵就成为：
?x(?)??a0??x(?)??b? ??????????u(?)?v(?)?ca1v(?)?cb?????????o???r(?) ?1?令采样信号xe(k)?x(k)?x(?),ve(k)?v(k)?v(?),ue?u(k)?u(?)。将以上两式相减，可得：
?xe(k?1)??a0??xe(k)?????????v(k?1)?ca1v(k)??e?e????b???ue(k) ?cb??由u(k)?k1v(k)?k2x(k),有ue(k)?k1ve(k)?k2xe(k)
再令x1(k)?xe(k),x2(k)?ve(k),w(k)?ue(k)。以上矩阵可写成：
?x1(k?1)??a0??x1(k)? ????????x(k?1)?ca1x(k)??2?2????b???w(k) ?cb??式中 w(k)???k2?k1???x1(k)?? ?x2(k）?当系统有单位阶跃给定输入时，r(k?1)?r(?)?r。又由u(k)=k1v(k)?k2x(k)可得： ?
?x(k?1)??a0??x(k)??b??x(k)??0?????kk????????21??????r?v(k?1)???ca1??v(k)???cb??v(k)??1?
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根据矩阵乘法运算规则，整理以上矩阵有：
bk1??x(k)??x(k?1)??a?bk2 ????????v(k?1)?ca?cbk1?cbkv(k)????21???0???r ?1?还有：
y(k)?cx(k)???c0??设定性能指标为： J?1?T?x(k)???v(k)?
[x?2K?0(k)Qx(k)?w(k)Rw(k)]
T式中参量Q、R选择为： Q???0?10000??,R?[1] 1?根据以上分析开始设计GUI界面。
第一步：启动GUI工具箱以后，布置如4.1图所示的界面：
图4.1 离散系统最优控制GUI界面
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上述界面包含一个坐标轴控件、两个静态文本框控件、一个可编辑文本框、一个按钮组控件、两个按钮控件、一个列表框控件。
第二步：对各控件进行属性设置，设置完成后得到如4.2界面。
图4.2 离散系统图形用户界面
图4.3 离散系统反馈矩阵Kx
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第三步:界面的激活与回调函数的设计（见附录）。
第四步:运行。点击界面按钮“反馈矩阵Kx”后显示如4.3界面 点击界面按钮“Step response”后显示如4.4界面
图4.4 离散系统单位阶跃给定响应
设计结束。
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