电阻的三角形联接:将三个电阻首尾相连，形成一个三角形，三角形的三个顶点分别与外电路的三个结点相连，就构成三角形联接，又称为Δ形联接，如图(b)所示。
图2-17电阻的星形联接和电阻的三角形联接构成一个电阻三端网络。一般来说，电阻三端网络的端口特性，可用联系这些电压和电流关系的两个代数方程来表征。
对于电阻星形联接的三端网络，外加两个电流源i1和i2。用2b方程求出端口电压u1和u2的表达式为：
u1?R1i1?R3(i1?i2)u2?R2i2?R3(i1?i2)整理得到
u1?(R1?R3)i1?R3i2??u2?R3i1?(R2?R3)i2?(2?11)对电阻三角形联接的三端网络，外加两个电流源i1和i2，将电流源与电阻的并联单口等效变换为一个电压源与电阻的串联单口，得到图(b)电路，由此得到
i12??u1?R31i1?R31i12?R31(i1?i12)R31i1?R23i2 ?R12?R23?R31?u2?R23i12?R23i2?R23(i2?i12) 11
将i12表达式代入上两式，得到
R31(R12?R23)R23R31?i1?i2?R12?R23?R31R12?R23?R31?? (2?12)R23R31R23(R12?R31)?u2?i1?i2R12?R23?R31R12?R23?R31??式(2－11)和(2－12)分别表示电阻星形联接和三角形联接网络的 VCR方程。
如果要求电阻星形联接和三角形联接等效，则要求以上两个VCR方程的对应系数分别相等，即：
u1?R31(R12?R23)??R12?R23?R31??R23R31?R3??(2?13)R12?R23?R31?R(R?R31)?R2?R3?2312?R12?R23?R31??R1?R3?由此解得
?R31R12?R12?R23?R31??R12R23?R2?? (2?14)R12?R23?R31??R23R31R3??R12?R23?R31??R1?电阻三角形联接等效变换为电阻星形联接的公式为
接于i端两电阻之乘积?形三电阻之和当R12= R23= R31= RD时，有
Ri?R1?R2?R3?R??由式(2－14)可解得：
R1R2?R2R3?R3R1??R3?R1R2?R2R3?R3R1?R23??R1?RR?R2R3?R3R1?R31?12?R2?R12?1R?3(2?17) 12
电阻星形联接等效变换为电阻三角形联接的公式为
?形电阻两两乘积之和不与mn端相连的电阻当R1= R2= R3= RY时，有
Rmn?(2?18)R12?R23?R31?R??3R?(2?19)在复杂的电阻网络中，利用电阻星形联接与电阻三角形联接网络的等效变换，可以简化电路分析。
例2－11 求图2-20(a)电路中电流 i。
图2-20
再用电阻串联和并联公式，求出连接到电压源两端单口的等效电阻
R?1.5??(0.6?1.4)(1?1)??2.5?0.6?1.4?1?1最后求得
i?10V10V??4AR2.5?§2－3 网孔分析法及回路分析法
在支路电流法一节中已述及，由独立电压源和线性电阻构成的电路，可以b个支路电流变量来建立电路方程。在b个支路电流中，只有一部分电流是独立电流变量，另一部分电流则可由这些独立电流来确定。若用独
立电流变量来建立电路方程，则可进一步减少电路方程数。
对于具有b条支路和n个结点的平面连通电路来说，它的(b-n+1)个网孔电流就是一组独立电流变量。用网孔电流作变量建立的电路方程，称为网孔方程。求解网孔方程得到网孔电流后，用KCL方程可求出全部支路电流，再用VCR方程可求出全部支路电压。
一、网孔电流
若将电压源和电阻串联作为一条支路时，该电路共有6条支路和4个结点。对①、②、③结点写出KCL方程。
?i?i?i?0 ?i?i?i?????i?i?i?0? i?i?i? ?i?i?i?0 ?i?i?i???
134413125512236623 13
支路电流i4、i5和i6可以用另外三个支路电流i1、i2和i3的线性组合来表示。
电流i4、i5和i6是非独立电流，它们由独立电流i1、i2和i3的线性组合确定。这种线性组合的关系，可以设想为电流i1、i2和i3沿每个网孔边界闭合流动而形成，如图中箭头所示。这种在网孔内闭合流动的电流，称为网孔电流。它是一组能确定全部支路电流的独立电流变量。对于具有b条支路和n个结点的平面连通电路来说，共有(b-n+1)个网孔电流。
二、网孔方程
以图示网孔电流方向为绕行方向，写出三个网孔的KVL方程分别为：
R1i1?R5i5?R4i4?uS1?? R2i2?R5i5?R6i6?uS2?R3i3?R6i6?R4i4??uS3? ?
将以下各式代入上式，消去i4、i5和i6后可以得到：
i4?i1?i3 i5?i1?i2 i6?i2?i3
(R1?R4?R5)i1?R5i2?R4i3?uS1
R5i1?(R2?R5?R6)i2?R6i3?uS2网孔方程
R4i1?R6i2?(R3?R4?R6)i3??uS3
将网孔方程写成一般形式：
R11i1?R12i2?R13i3?uS11?
?R21i1?R22i2?R23i3?uS22?
R31i1?R32i2?R33i3?uS33??
其中R11, R22和R33称为网孔自电阻，它们分别是各网孔内全部电阻的总和。例如R11= R1+ R4+ R5, R22= R2 + R5+ R6, R33= R3+ R4+ R6。
Rkj(k1j)称为网孔k与网孔j的互电阻，它们是两网孔公共电阻的正值或负值。当两网孔电流以相同方向流过公共电阻时取正号，例如R12=
R21=R5,R13=R31=R4。当两网孔电流以相反方向流过公共电阻时取负号，例如R23= R32=-R6。
uS11、uS22、uS33分别为各网孔中全部电压源电压升的代数和。绕行方向由极到+极的电压源取正号；反之则取负号。例如uS11=uS1,uS22=uS2,uS33=-uS3。
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由独立电压源和线性电阻构成电路的网孔方程很有规律。可理解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产生电压降的代数和，等于该网孔全部电压源电压升的代数和。根据以上总结的规律和对电路图的观察，就能直接列出网孔方程。具有m个网孔的平面电路，其网孔方程的一般形式为
?R21i1?R22i2?...?R2mim?uS22???(2?25)........................?Rm1i1?Rm2i2?...?Rmmim?uSmm??三、网孔分析法计算举例 网孔分析法的计算步骤如下：
1.在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网孔电流均选为顺时针(或反时针)方向，则网孔方程的全部互电阻项均取负号。
2.用观察电路图的方法直接列出各网孔方程。 3.求解网孔方程，得到各网孔电流。
4.假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电流的线性组合关系，求得各支路电流。
5.用VCR方程，求得各支路电压。
例2－12 用网孔分析法求图2-22电路各支路电流。
图2－22解：选定两个网孔电流i1和i2的参考方向，如图所示。用观察电路的方法直接列出网孔方程：
R11i1?R12i2?...?R1mim?uS11?(1??1?)i1?(1?)i2?5V???1?i1?(1??2?)i2??10V整理为
?2i1?i2?5A???i1?3i2??10A解得：
5i1??1?1035A?A?1A2?15?13 15