i3?i1?i2代入上式，移项整理后得到以下网孔方程：
(R1?R3)i1?R3i2?uS(r?R3)i1?(R2?R3?r)i2?0由于受控源的影响,互电阻R21=( r - R3)不再与互电阻R12= -R3相等。自电阻R22=( R2+ R3 - r)不再是网孔全部电阻R2 、R3的总和。
例2－28 图2-42电路中，已知m =1,a =1。试求网孔电流。
图2－42
解：以i1, i2和a i3为网孔电流，用观察法列出网孔 1和网孔2的网孔方程分别为：
(6?)i1?(2?)i2?(2?)?i3?16V?(2?)i1?(6?)i2?(2?)?i3???u1补充两个受控源控制变量与网孔电流i1和i2关系的方程：
u1?(2?)i1i3?i1?i2代入?1,a =1和两个补充方程到网孔方程中，移项整理后得到以下网孔方程：
4i1?16A?2i1?8i2?0解得网孔电流i1=4A, i2=1A和ai3 =3A。 五、含受控源电路的结点方程
与建立网孔方程相似，列写含受控源电路的结点方程时，(1) 先将受控源作为独立电源处理；(2) 然后将控制变量用结点电压表示并移项整理，即可得到如式(2－30)形式的结点方程。现举例加以说明。 例如对于独立电流源、受控电流源和线性电阻构成电路的结点方程如下所示：
G11v1?G12v2?...?G1(n?1)vn?1?iS11G21v1?G22v2?...?G2(n?1)vn?1?iS22???????????????????????????????????G(n?1)1v1?G(n?1)2v2?????G(n?1)(n?1)vn?1????(2?30)??iS(n?1((n?1)??例2－29 列出图2-43电路的结点方程。
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图2－43
解：列出结点方程时，将受控电流源gu3写在方程右边：
(G1?G3)u1?G3u2?iS?G3u1?(G2?G3)u2??gu3补充控制变量u3与结点电压关系的方程
u3?u1?u2代入上式，移项整理后得到以下结点方程：
(G1?G3)u1?G3u2?iS(g?G3)u1?(G2?G3?g)u2?0由于受控源的影响，互电导 G21 = ( g - G3) 与互电导G12 = -G3 不再相等。自电导 G22 = ( G2+ G3- g) 不再是结点②全部电导之和。例2－30 电路如图2-44所示。已知g=2S，求结点电压和受控电流源发出的功率。
图2－44
解：当电路中存在受控电压源时，应增加电压源电流变量I来建立结点方程。
(2S)u1?(1S)u2?i?6A?(1S)u1?(3S)u2?(1S)u3?0?(1S)u2?(2S)u3?i?gu2补充方程
u1?u3?0.5u4?0.5(u2?u3)代入g=2S,消去电流i，经整理得到以下结点方程：
2u1?4u2?2u3?6V?u1?3u2?u3?0u1?0.5u2?0.5u3?0求解可得u1=4V, u2=3V, u3=5V。受控电流源发出的功率为
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p?u3(gu2)?5?2?3W?30W§2－6 电路分析的基本方法
一、各种分析方法的回顾
电路分析的基本任务是根据已知电路，求解出电路中电压和电流。电路分析的基本方法是利用KCL、KVL和VCR建立一组电路方程，并求解得到电压和电流。到目前为止，我们已经介绍了2b法，支路电流法及支路电压法，网孔分析法及回路分析法，结点分析法及割集分析法。
网孔方程 支路电流方程 （b-n+1） 回路方程
2b方程 （b）
（2b） 结点方程
支路电压方程 （n-1）
割集方程 其核心是用数学方式来描述电路中电压电流约束关系的一组电路方
程，这些方程间的关系如下所示:
2b方程是根据KCL、KVL和VCR直接列出的支路电压和支路电流的约束方程，适用于任何集总参数电路，它是最基本最原始的一组电路方程，由它可以导出其余几种电路方程。
当电路由独立电压源和流控电阻元件组成时，将流控元件的VCR方程u=f(i)代入KVL方程中，将支路电压转换为支路电流，从而得到用支路电流表示的b-n+1个KVL方程。这些方程再加上原来的n-1个KCL方程，将构成以b个支路电流作为变量的支路电流法方程。
由于b个支路电流中，只有b-n+1个独立的电流变量，其它的支路电流是这些独立电流的线性组合。假如将这种线性组合关系代入到支路电流方程组中，就得到以b-n+1个独立电流为变量的KVL方程(网孔方程或回路方程)。假如采用平面电路的b-n+1个网孔电流作为变量，就得到网孔电流方程；假如采用b-n+1个回路电流作为变量，就得到回路电流方程。
当电路由独立电流源和压控电阻元件组成时，将压控元件的VCR方程i=g(u)代入KCL方程中，将支路电流转换为支路电压，从而得到用支路电压表示的n-1个KCL方程。这些方程再加上原来的b-n+1个KVL方程，将构成以b个支路电压作为变量的支路电压法方程。
由于b个支路电压中，只有n-1个独立的电压变量，其它的支路电压是这些独立电压的线性组合。假如将这种线性组合关系代入到支路电压方程组中，就得到以n-1个独立电压为变量的KCL方程(结点方程或割集方程)。假如采用连通电路的n-1个结点电压作为变量，就得到结点电压方程；假如采用n-1个树支电压作为变量，就得到割集方程。
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值得注意的是，当电路中含有独立电流源时，在列写支路电流方程，网孔方程和回路方程时，由于独立电流源不是流控元件，不存在流控表达式u=f(i) ，这些电流源的电压变量不能从2b方程中消去，还必须保留在方程中，成为既有电流和又有电流源电压作为变量的一种混合变量方程。
与此相似，当电路中含有独立电压源时，在列写支路电压方程、结点方程和割集方程时，由于独立电压源不是压控元件，不存在压控表达式i=g(u) ，这些电压源的电流变量不能从2b方程消去，还必须保留在方程中，成为既有电压和又有电压源电流作为变量的一种混合变量方程。
从2b分析法导出的几种分析方法中，存在着一种对偶关系，支路电流分析与支路电压分析对偶；网孔分析与结点分析对偶；回路分析与割集分析对偶。
这些方法对应的方程也存在着对偶的关系，即支路电流方程与支路电压方程对偶；网孔电流方程与结点电压方程对偶；回路方程与割集方程对偶。利用这些对偶关系，可以更好地掌握电路分析的各种方法。
由于分析电路有多种方法，就某个具体电路而言，采用某个方法可能比另外一个方法好。在分析电路时，就有选择分析方法的问题。
选择分析方法时通常考虑的因素有: (1)联立方程数目少；(2)列写方程比较容易；(3)所求解的电压电流就是方程变量；(4)个人喜欢并熟悉的某种方法。
例如2b方程的数目虽然最多，但是在已知部分电压电流的情况下，并不需要写出全部方程来联立求解，只需观察电路，列出部分KCL、KVL和VCR方程就能直接求出某些电压电流，这是从事实际电气工作的人员喜欢采用的一种方法。
二、网孔分析法与结点分析法的比较
常用网孔分析法和结点分析法来分析复杂电路，这些方法的优点是联立求解的方程数目少和可以用观察电路的方法直接写出联立方程组。
在某些情况下，用其中的某个方法显然比另外一个方法好。例如当电路只含有独立电压源而没有独立电流源时，用网孔分析法显然更容易。当电路只含有独立电流源而没有独立电压源时，用结点分析法显然更容易。
如果电路既有电压源又有电流源时，可以用网孔分析法或结点分析法。究竟选择那种方法，一种办法是比较每种方法的方程数目，如果电路的独立结点比网孔数目少，可以选择结点分析法；如果电路的网孔比独立结点数目少，可以选择网孔分析法。另外一种办法是考虑求解的变量。如果需要求解的是几个电流，可以用网孔电流分析直接得到。必须记住，网孔分析法只适用于平面电路。如果需要求解的是几个电压，可以用结点分析直接得到。必须记住，结点分析法只适用于连通电路。
确定哪种方法更适合所求解的问题考虑常常是十分有用的。现在举例加以说明。例 2－31 确定较好的方法来求解图示电路。如果求解的是(a)
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图(a)所示电路中的电压。(b) 图(b)所示电路中流过电阻中的电流。(c) 图(c)所示电路中的电流。
解：电路(a)更适合用结点分析法。因为独立电压源确定了结点a的电压，我们只需要写出结点b的KCL方程。
电路(b)更适合用网孔分析法。因为独立电流源确定了右边的网孔电流，我们只需要写出左边网孔的KVL方程。
电路(c)需要写两个结点方程。该电路有四个网孔，但是有三个网孔电流可以由三个电流源确定，只有一个网孔电流是未知量。因此，用网孔电流法更容易些。
三、电路的化简
简化电路的有效方法是利用单口网络的等效电路。将电路中的某些电阻单口网络用它的等效电路来代替就可以减小电路规模，而不会影响电路其它部分的电压电流。
例如要计算电路中某个二端元件的电压和电流时，如果将连接这个二端元件的电阻单口网络用它的等效电路来代替，如图2－46所示，就得到一个单一回路或一对结点的电路，无需求解联立方程，就可求得二端元件的电压电流。
图2－46
常用的等效化简的方法有
(1) 将几个电阻的串并联可以用一个等效电阻来代替。
(2) 一个电压源和电阻串联单口网络用一个电流源和电阻并联的等效单口网络来代替。
(3) 一个电流源和电阻并联单口网络用一个电压源和电阻串联的等效单口网络来代替。
(4) 一个电压源和几个电阻的并联单口网络用这个电压源代替。 (5) 一个电流源和几个电阻的串联单口网络用这个电流源代替。 (6) 一个含源电阻单口网络用一个电压源和电阻串联的等效单口网络来代替。
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(7) 一个含源电阻单口网络用一个电流源和电阻并联的等效单口网络来代替。
由于求解单口网络的等效电路也需要一定的工作量，电路的化简应该进行到哪种程度，需要根据具体问题来确定。今后，我们可以看到，在有些情况下，即使花费一定的工作量来化简电路，也是必要和值得的。
值得提出的一个问题是经过化简的电路会丢失原来电路的某些信息，求解某些电压电流和功率时，还需要回到原来的电路。
综上所述，用手算方法求解一个复杂电路的基本步骤是： 1.利用等效电路等方法适当化简电路。 2.选择一个适当的分析方法。
3.用观察法建立电路方程，然后求解方程并对计算结果进行检验。 4.根据原来的电路，用2b方程求出所需要的电压电流和功率。
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