课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 §2 正交基
一、标准正交基
定义5 欧氏空间V的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组.
按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.
正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n个.
定义6 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基组.
对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基. 设?1,?2,?,?n是一组标准正交基，由定义，有
?1,当i?j;(?i,?j)?? (1)
0,当i?j.?显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在n维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在n维欧氏空间中，标准正交基是存在的.
在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即
??(?1,?)?1?(?2,?)?2???(?n,?)?n. (2)
在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设
??x1?1?x2?2???xn?n.
??y1?1?y2?2???yn?n.
那么
(?,?)?x1y1?x2y2???xnyn?X?Y. (3)
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广.
应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所
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二、规范正交基的存在性及其正交化方法
定理1 n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基. 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基.再单位化，就得到一组标准正交基.
定理2 对于n维欧氏空间中任意一组基?1,?2,?,?n，都可以找到一组标准正交基?1,?2,?,?n，使
L(?1,?2,?,?i)?L(?1,?2,?,?i),i?1,2,?,n.
应该指出，定理中的要求
L(?1,?2,?,?i)?L(?1,?2,?,?i),i?1,2,?,n.
就相当于由基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵是上三角形的.
定理2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特（Schimidt）正交化过程.
例1
?1?(1,1,0,0),?2?(1,0,1,0),?3?(?1,0,0,1),?4?(1,?1,?1,1)
变成单位正交组.
三、正交矩阵
上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式.
设?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A?(aij)，即
?a11??a21(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)????a?n1a12a22?an2?a1n???a2n? ????ann??因为?1,?2,?,?n是标准正交基，所以
课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 ?1,当i?j; (4) (?i,?j)???0,当i?j.矩阵A的各列就是?1,?2,?,?n在标准正交基?1,?2,?,?n下的坐标.按公式(3),(4)式可以表示为
?1,当i?j; (5) a1ia1j?a2ia2j???anianj???0,当i?j.(5)式相当于一个矩阵的等式
A?A?E (6)
或者
A?1?A?
定义7 n组实数矩阵A称为正交矩阵，如果A?A?E
由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基.
最后指出，根据逆矩阵的性质，由
A?A?E
即得
AA??E
写出来就是
?1,当i?j; (7) ai1aj1?ai2aj2???ainajn???0,当i?j.(5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与行之间的关系.这两组关系是等价的.
例2 考虑定义在闭区间[0,2?]上一切连续函数所作成的欧氏空间C[0,2?].函数组
1,cosx,sinx,?,cosnx,sinnx,?.
构成C[0,2?]的一个正交组.
把上面的每一向量除以它的长度,就得到C[0,2?]的一个标准正交组:
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例3 欧氏空间Rn的基
?i?(0,?,0,1,0,?,0）,i?1,2,?,n
是Rn的一个标准正交基.
（i）
课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 §3 同构
定义8 实数域R上欧氏空间V与V?称为同构的,如果由V到V?有一个双射
?，满足
1)?(???)??(?)??(?), 2)?(k?)?k?(?), 3)(?(?),?(?))?(?,?),
这里?,??V,k?R，这样的映射?称为V到V?的同构映射.
由定义，如果?是欧氏空间V到V?的一个同构映射，那么也是V到V?作为线性空间的同构映射.因此，同构的欧氏空间必有相同的维数.
设V是一个n维欧氏空间，在V中取一组标准正交基?1,?2,?,?n，在这组基下，V的每个向量?都可表成
??x1?1?x2?2???xn?n
令
?(?)?(x1,x2,?,xn)?Rn
就是V到Rn的一个双射，并且适合定义中条件1),2).上一节(3)式说明，?也适合条件3)，因而?是V到Rn的一个同构映射，由此可知，每个n维的欧氏空间都与Rn同构.
同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性.
既然每个n维欧氏空间都与Rn同构，按对称性与传递性得，任意两个n维欧氏空间都同构.
定理3 两个有限维欧氏空间同构?它们的维数相等.
这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定.