课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 3. 因为?1,?,?r两两不同，所以根据这一节引理4，向量组
?11,?,?1k,?,?r1,?,?rk还是两两正交的.又根据定理7以及第七章§5的讨论，
1r它们的个数就等于空间的维数.因此，它们就构成Rn的一组标准正交基，并且也都是A的特征向量.这样，正交矩阵T也就求出了.
例 已知
?011?1????10?11? A???1?101????1110???求一正交矩阵T使T?AT成对角形.
应该指出，在定理7中，对于正交矩阵T我们还可以进一步要求
T?1
事实上，如果求得的正交矩阵T的行列式为-1，那么取
??1???1??? S??1???????1??那么T1?TS是正交矩阵，而且
T1?TS?1
显然T1?AT1?T?AT.
如果线性替换
?x1?c11y1?c12y2???c1nyn，?x?cy?cy???cy,?22112222nn ?????????xn?cn1y1?cn2y2???cnnyn的矩阵C??cij?是正交的，那么它就称为正交的线性替换.正交的线性替换当然是非退化的.
用二次型的语言，定理7可以叙述为：
课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 定理8 任意一个实二次型
??ai?1j?1nnijxixj,aij?aji
都可以经过正交的线性替换变成平方和
22, ?1y12??2y2????nyn其中平方项的系数?1,?2,?,?n就是矩阵A的特征多项式全部的根.
最后指出，这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲线的方程，以及讨论二次曲线的分类.
在直角坐标系下，二次曲线的一般方程是
a11x2?a22x2?a33x2?2a12xy?2a13xz?2a23yz?2b1x?2b2y?2b3z?d?0 (5) 令
?a11?A??a12?a?13a12a22a23a13??x??b1??????a23?,X??y?,B??b2?
?z??b?a33?????3?则(5)可以写成
X?AX?2B?X?d?0 (6)
经过转轴，坐标变换公式为
?x??c11????y???c21?z??c???31c12c22c32c13??x1????c23??y1?,或者X?CX1
??c33???z1?其中C为正交变换且C?1，在新坐标系中，曲面的方程就是
?(C?AC)X1?2(B?C)X1?d?0 X1根据上面的结果，有行列式为1的正交矩阵C使
??1?C?AC??0?0?0?200??0? ?3??这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为
**?1x12??2y12??3y12?2b1*x1?2b2y1?2b3z1?d?0
课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 其中
**(b1*,b2,b3)?(b1,b2,b3)C
这时，再按照?1,?2,?3是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.譬如说，当?1,?2,?3全不为零时，就作移轴
于是曲面的方程化为
其中
?b*?x1?1?x2??,1??yb*2?1?y2??,
2?*??zzb31?2??.3?222*1x2??2y2??3z2?d?0
d*?d?b*21b*222b*??1??32?.
3
课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 §7 向量到子空间的最小距离·最小二乘法
在解析几何中，两个点?和?间的距离等于向量???的长度. 定义13 长度???称为向量?和?的距离，记为d(?,?) 不难证明距离的三条性质： 1）d(?,?)?d(?,?);
2）d(?,?)?0，并且仅当???时等号才成立； 3）d(?,?)?d(?,?)?d(?,?)（三角不等式）
在中学所学几何中知道一个点到一个平面（一条直线）上所有点的距离以垂线最短.下面可以证明一个固定向量和一个子空间中各向量间的距离也是以“垂线最短”.
先设一个子空间W，它是由向量?1,?2,?,?k所生成，即W?L(?1,?2,?,?k).说一个向量?垂直于子空间W，就是指向量?垂直W于中任何一个向量.易证?垂直于W的充要条件是?垂直于每个?i(i?1,2,?,k).
现给定?，设?是W中的向量，满足???垂直于W.要证明?到W中各向量的距离以垂线最短，就是要证明，对于W中任一向量?，有
???????.
我们可以画出下面的示意图：
证明 ????(???)?(???)因W是子空间，??W,??W,则????W.故
???垂直于???.由勾股定理，
???????故
22????
2???????
这就证明了，向量到子空间各向量间的距离以垂线最短.
这个几何事实可以用来解决一些实际问题.其中的一个应用就是解决最小二乘法问题.
课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 例 已知某种材料在生产过程中的废品率y与某种化学成分x有关.下列表中记载了某工厂生产中y与相应的x的几次数值：
y(%) 1.00 3.6 0.9 3.7 0.9 3.8 0.81 3.9 0.60 4.0 0.56 4.0 0.35 4.2 x(%) 我们想找出y对x的一个近似公式. 最小二乘法问题：线性方程组
?a11x1?a12x2???a1sxs?b1?0,?ax?ax???ax?b?0,?2112222ss2 ??????????an1x1?an2x2???ansxs?bn?0可能无解.即任何一组数x1,x2,?,xs都可能使
?(ai?1ni11x?ai2x2???aisxs?bi)2 (1)
00不等于零.我们设法找x10,x2,?,xs0使（1）最小，这样的x10,x2,?,xs0称为方程组
的最小二乘解.这种问题就叫最小二乘法问题.
下面利用欧氏空间的概念来表达最小二乘法，并给出最小二乘解所满足的代数条件.令
?a11??a21A?????a?n1?a1s??b1?????a2s??b2?,B???,???????b?an2?ans???n??s???a1jxj? (2) ?j?1??x1?s?????x2?a2jxj?X???,Y????AX.?j?1????????x?s?s???ax?njj???j?1?用距离的概念，（1）就是
Y?B
2a12a22?