课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 §4正交变换
定义9欧氏空间V的线性变换A叫做一个正交变换,如果它保持向量的内积不变，即对任意的，都有?,??V,都有.
(A?,A?)=(?,?).
正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画.
定理4 设A是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：
1）A是正交变换；
2）A保持向量的长度不变，即对于??V,|A?|=|?|;
3）如果?1,?2,?,?n是标准正交基，那么A ?1, A ?2,?, A ?n也是标准正交基；
4）A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的.由定义看出，正交变换实际上就是一个欧氏空间到自身的同构映射，因而正交变换的乘积与正变换的逆变换还是正交变换.在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此，正交变换的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵.
如果A是正交矩阵，那么由
AA??E
可知
A?1或者A??1.
2因此，正交变换的行列式等于+1或-1.行列式等于+1的正交矩阵通常称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于-1的正交变换称为第二类的.
例如，在欧氏空间中任取一组标准正交基?1,?2,?,?n，定义线性变换A为：
A ?1???1, A ?i??i,i?2,3,?,n.
那么，A就是一个第二类的正交变换.从几何上看，这是一个镜面反射.
课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 例1 令H是空间V3里过原点的一个平面, ???V3,令?对于H的镜面反射??与它对应.?:????是V3的一个正交变换.
例2 设??L(R3),令?(?)?(x2,x3,x1),???(x1,x2,x3)?V3.则?是R3的一个正交变换.
例3 将V2的每一向量旋转一个角?的正交变换关于V2的任意标准正交基的矩阵是
?cos???sin???sin???. cos???又令?是例1中的正交变换.在平面H内取两个正交的单位向量?1,?2,再取一个垂直于H的单位向量?3,那么??1,?2,?3?是V3的一个规范正交基, 个基的矩阵是
?1??0?0?0100??0? ?1???关于这
以上两个矩阵都是正交矩阵.
课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 §5子空间
定义10 设V1,V2是欧氏空间V中两个子空间.如果对于任意的??V1,??V2，恒有
(?,?)?0
则称V1,V2为正交的，记为V1?V2.一个向量?，如果对于任意的??V1，恒有
(?,?)?0
则称?与子空间V1正交，记为??V1.
因为只有零向量与它自身正交，所以由V1?V2可知V1?V2??0?；由
??V1,??V1可知??0.
定理5 如果子空间V1,V2,?,Vs两两正交，那么和V1?V2???Vs是直和. 定义11 子空间V2称为子空间V1的一个正交补，如果V1?V2，并且
V1?V2?V.
显然，如果V2是V1的正交补，那么V1也是V2的正交补. 定理6 n维欧氏空间V的每一个子空间V1都有唯一的正交补.
V1的正交补记为V1，由定义可知
维（V1）+维（V1）=n
推论 V1恰由所有与V1正交的向量组成. 由分解式
???V?V1?V1
可知，V中任一向量?都可以唯一分解成
????1??2
其中?1?V1,?2?V2.称?1为向量?在子空间V1上的内射影.
课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 §6 实对称矩阵的标准形
由第五章得到，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，换句话说，都有一个可逆矩阵C使C?AC成对角形.现在利用欧氏空间的理论，第五章中关于实对称矩阵的结果可以加强.这一节的主要结果是：
对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵T，使
T?AT?T?1AT
成对角形.
引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数.
对应于实对称矩阵A，在n维欧氏空间Rn上定义一个线性变换A如下：
?x1????x2?A???????x??n??x1????x?A?2?. (1) ????x??n?显然A在标准正交基
?1??0??0????????0??1??0??1???,?2???,?,?n??? (2)
??????????0??0??1???????下的矩阵就是A.
引理2 设A是实对称矩阵，A的定义如上，则对任意?,??Rn，有
(A?,?)=(?,A?), (3)
或
??(A?)???A?
定义12 欧氏空间中满足等式(3)的线性变换称为对称变换.
容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.用对称变换来反映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚.
引理3 设A是对称变换，V1是A-子空间，则V1也是A-子空间.
引理4 设A是实对称矩阵，则Rn中属于A的不同特征值的特征向量必正交.
?课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 定理7 对于任意一个n级实对称矩阵A，都存在一个n级正交矩阵T，使成
T?AT?T?1AT对角形.
下面来看看在给定了一个实对称矩阵A之后，按什么办法求正交矩阵T使
T?AT成对角形.在定理的证明中看到，矩阵A按(1)式在Rn中定义了一个线性变换.
求正交矩阵T的问题就相当于在Rn中求一组由A的特征向量构成的标准正交基.事实上，设
?t11??t12??t1n??????t?t?21??t2n?22???1???,?2?,?,?n???
????????????t????n1??tn2??tnn?是Rn的一组标准正交基，它们都是A的特征向量.显然，由?1,?2,?,?n到
?1,?2,?,?n的过渡矩阵就是
?t11??tT??21???t?n1T是一个正交矩阵，而
t12t22?tn2?t1n???t2n? ????tnn??T?1AT?T?AT
就是对角形.
根据上面的讨论，正交矩阵T的求法可以按以下步骤进行： 1. 求出A的特征值.设?1,?,?r是A的全部不同的特征值. 2. 对于每个?i，解齐次方程组
?x1????x?(?iE?A)?2??0
????x??n?求出一个基础解系，这就是A的特征子空间V?i的一组基.由这组基出发，按定理2的方法求出V?i的一组标准正交基?i1,?,?iki.