课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 第九章 欧几里得空间 (小结)
一、欧氏空间
1. 内积、欧氏空间的概念及其简单性质. 2. 柯西—布涅可夫斯基不等式:
(?,?)2?(?,?)(?,?).
3. 向量的长度:??(?,?).
4. 两个非零向量?与?的夹角:??arccos若(?,?)?0,则?与?正交. 二、标准正交基 １. 标准正交基的概念.
２. 标准正交基的求法—施密特正交化方法.
３. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.反过来，假如两个基之间的过渡矩阵是正交矩阵，而且其中一个基是标准正交基，那么另一个基也是标准正交基.
三、正交补 内射影 1. 向量与集合正交的概念.
2. 欧氏空间的子空间V1的正交补的概念.
3. 设V1是V的子空间,则V?V1?V1,且???V可以唯一写成???1??2,其中?1?V1,?2?V1,则称?1是?在V1上的内射影. 四、欧氏空间的线性变换 1.正交变换
(1) V的线性变换?是正交变换? ① ?保持向量的长度不变. ② ?保持向量的内积不变.
③ ?把规范正交基仍变为规范正交基. ④ ?关于规范正交基的矩阵是正交矩阵.
??(?,?)??.(0????).
课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 (2) 正交矩阵的性质
① 正交矩阵为可逆矩阵,其逆仍为正交矩阵. ② 正交矩阵的行列式为1或-1. ③ 正交矩阵的伴随矩阵是正交矩阵. 2. 对称变换
(1) 假如欧氏空间V的线性变换?满足:
(?(?),?)?(?,?(?)),??,??V
那么?叫做对称变换.
(2) n维欧氏空间V的线性变换是对称变换??在V的标准正交基下的矩阵是对称矩阵.
(3) 设?是欧氏空间V的对称变换,若W是?的不变子空间,则W也是?的
?不变子空间.
(4) 实对称矩阵的特征值都是实数,相应地有对称变换的特征值都是实数. (5) 设A是实对称矩阵,则属于A的不同特征值的特征向量是正交的.
(6) 任一个n阶实对称矩阵A都可以正交对角化,即存在正交矩阵U,使得
U?AU?U?1AU是对角形式,相应地有对于欧氏空间V的任一个对称变换?,存
在V的标准正交基, ?在这个标准正交基下的矩阵是对角形式. 六、欧氏空间的同构 1. 欧氏空间同构的概念.
2. 两个有限维欧氏空间同构?它们的维数相同. 3. 每个n维欧氏空间都与Rn同构.
本章的重点是欧氏空间的基本概念、标准正交基、正交变换和正交矩阵、对称变换与对称矩阵.
难点是正交变换、正交补、对称变换.