课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 0最小二乘法就是找x10,x2，知道向量Y就是 ,?,xs0使Y与B的距离最短.但从（2）
?a11??a12??a1s????????a??a??a?Y?x1?21??x2?22????xs?2s?.
??????????a??a??a??n1??n2??ns?把A的各列向量分别记成?1,?2,?,?s.由它们生成的子空间为
L?(?1,?2,?,?s).Y就是L?(?1,?2,?,?s)中的向量.于是最小二乘法问题可叙述成：
找X使（1）最小，就是在L?(?1,?2,?,?s)中找一向量Y，使得B到它的距离比到子空间L?(?1,?2,?,?s)中其它向量的距离都短.
应用前面所讲的结论，设
Y?AX?x1?1?x2?2???xs?s
是所求的向量，则
C?B?Y?B?AX
必须垂直于子空间L?(?1,?2,?,?s).为此只须而且必须
(C,?1)?(C,?2)???(C,?s)?0
回忆矩阵乘法规则，上述一串等式可以写成矩阵相乘的式子，即
?1?C?0,?2?C?0,?,?s?C?0.
???而?1,?2,?,?s按行正好排成矩阵A?，上述一串等式合起来就是
A?(B?AX)?0
或
A?AX?A?B
这就是最小二乘解所满足的代数方程，它是一个线性方程组，系数矩阵是A?A，常数项是A?B.这种线性方程组总是有解的.
回到前面的例子，易知
课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 ?3.6??3.7?3.8?A??3.9
?4.0??4.1??4.2
最小二乘解a,b所满足的方程就是
1??1.00????1?0.90??
?0.90?1????1?,B??0.81?
?0.60?1?????0.56?1????1?0.35??
?a?A?A??b???A?B?0, ??即为
?106.75a?27.3b?19.675?0, ??27.3a?7b?5.12?0.解得
a??1.05,b?4.81（取三位有效数字）.
课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 §8 酉空间介绍
定义14 设V是复数域上一个线性空间，在V上定义了一个二元复函数，称为内积,记作(?,?)，它具有以下性质:
1) (?,?)?(?,?)，(?,?)是(?,?)的共轭复数; 2) (k?,?)?k(?,?); 3) (???,?)?(?,?)?(?,?);
4) (?,?)是非负实数,且(?,?)?0当且仅当??0
这里?,?,?是V中任意的向量,k是任意复数,这样的线性空间称为酉空间.
例1 在线性空间Cn,对向量
???a1,a2,?,an?,???b1,b2,?,bn?
定义内积为
(?,?)?a1b1?a2b2???anbn, (1)
显然内积（1）满足定义14中的条件.这样C就成为一个酉空间.
由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论，因此在这只简单地列出重要的结论，而不详细论证.
1) (?,k?)?k(?,?). 2) (?,???)?(?,?)?(?,?). 3)
n(?,?)叫做向量?的长度，记为|?|.
4) 柯西–布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量?,?有
|?,?|?|?||?|,
当且仅当?,?线性相关时等号成立.
注意：酉空间中的内积(?,?)一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引入
课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 5) 向量?,?，当(?,?)?0时称为正交的或互相垂直.
在n维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要性质：
6) 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准正交基.
7）对n级复矩阵A，用A表示以A的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A满足A?A?AA??E，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.
两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵. 8) 酉空间V的线性变换A，满足
(A?,A?)=(?,?),
就称为V的一个酉变换.酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.
9）如矩阵A满足
A??A
则叫做埃尔米特(Hermite)矩阵.在酉空间Cn中令
?x1????x2?A???????x??n??x1????x2?A?? ????x??n?则
(A?,?)=(?,A?).
A也是对称变换.
10）V是酉空间，V1是子空间，V1是V1的正交补，则V?V1?V1 又设V1是对称变换的不变子空间，则V1也是不变子空间.
11）埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同的特征值的特征向量必正交.
12）若A是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵C，使
C?1AC?C?AC
???课程网址： http://jpkc.hnadl.cn/Able.Acc2.Web/pl.aspx?id=1040 欢迎大家访问 是对角形知阵.
13）设A为埃尔米特矩阵，二次齐次函数
f(x1,x2,?,xn)???aijxixj?X?AX
i?1j?1nn叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C，当时X?CY
f(x1,x2,?,xn)?d1y1y1?d2y2y2???dnynyn.