f?x??arctan?lim?f?x???x?11x?3x?22=arctan=，lim1(x?1)(x?2)f?x???
?lim?f?x??x?2?2?lim?f?x??x?1?2?2?2x?2?
?x?1,x?2为跳跃间断点。 22．证明：设f(x)?sinx?x?a,(a.?0)，在???,0?上连续。
?f?0??a?0；?a?2????,0?；
f??a?2??sin(?a?2)?(?a?2)?a??sin(a?2)?2?0
因此方程sinx?x?a?0,(a.?0)在 （?a?2,0)内有至少有一个根 ???a?2,0?????,0? 所以方程sinB4.解：? ?令1xx?x?a?0,(a.?0)在???,0?内至少有一个根。1?x,(x?0).
2
?1?f???x??x?1t?t，则x?
?1t?t?1t2 ?f?t?? ?f?x??1t?1?1t2?1?t?1t2
1?x?1x2。
22y? 5．解：?f?????x?x?yx=
?y?1????x?2
令
yx?t,y?xt
2 则f?t?? ?f?x??1?t1?x
2?x2,x?0?2?x,x?06．解：?f?x???，g(x)??
2?x,x?0???x,x?0 6
?g?x?2,g?x??0 ?f?g?x????
??g?x?,g?x??0因为g?x??0时，x?(??,??)，所以f?g?x????g(x),x?(??,??) 因此
?x?2,x?0 f?g?x??=??2?x,x?0??2?f?x?,f?x??0?2?f?x?,f?x??0 g?f?x????即g?f?x??=?
?2?x,x?0?2?x,x?02
11．（1）D. 当
1xn为无穷小时，limnx??yn?lim1xnx??xnyn?lim1xnx??limxnyn?0x??
（A）设x(B) 设xn(C) 设xn?n,yn?1n2;xn发散，yn收敛。
1?(?1)2n?1?1?(?1)21n2nn,yn?n;xn，yn均无界。 为无穷大。
?,yn?n；xn有界，yn（2）B.
f?x?在点x0的某个邻域内有定义且x0是它的间断点， 必有xlim?xf(x)不存在，或limf(x)?f(x0)
0x?x0（A）连续×间断=可能连续。例(sgnx)×(sinx) （B）连续+间断=间断 （C）间断×间断=可能连续 （D）∣间断∣=可能连续 (3)B.
f(x)?lim1?x1?x2nn???lim1?x1?(x)7
2nn??
?0x??1 ??f?x???1?x?1?x?1??1x?1
??0x?1 在x??1处
由于f(?1)?0，limf(x)?0，
limx??1?x??1?f(x)?0
所以函数在x??1连续
在x?1处
由于f(1)?0，limf(x)?lim(1lim(lim0x?1??0??x)?2，x?1?fx)?x?1??0x
所以x?1是间断点。
(4)D. 假设F(x)?g?x?f?x?处处连续。则g?x??g?x?f?x??f?x??F(x)f(x)处处连续，这
与g?x?有间断点矛盾。
?x?x?2?13.解：?f?x????sin?x,x?0
?x?x2?1,x?0 ?f?x?的定义域为x?k（k为负整数）
在 x?0处
limlimx(x?2)x(x?2)x?2x?0?f?x??x?0?sin?x?limx?0??x?limx?0???2?
limlimx
x?0?f?x???0x?0?x2?1?limx?0?f?x??limx?0?f?x?
?x?0是跳跃间断点。
在 x??2处
limf?x??limx(x?2)))x??2x??2sin?x?xlimx(x?2??2sin(2???x)?limx(x?2??2sin?(2?x)
x
8
?limx(x?2)x??2?(2?x)??2?
所以x??2为可去间断点。 在 x?k?k为负整数且k??2?处
?x?k?k为负整数且k??2?时，
limf?x??limx?kx(x?2)sin?xx?k??
?x?k?k为负整数且k??2?为无穷间断点。
习题二作业解答
１．求曲线y?解：?y??13x?3x在x?8处的切线方程和法线方程．
138?2323， ?k?y?x?8?112?112, 切点为(8,2)
所以切线方程为 y?2?(x?8)， 即 x?12y?16?0
法线方程为 y?2??12(x?8)， 即 12x?y?98?0 ４．设f(x)可导，求下列极限： （1）lim解：limf(x??x)?f(x??x)?x?xf(x??x)?f(x)?xf(x??x)?f(x)?xf(x??x)?f(x??x)；
f(x??x)?f(x)?f(x??x)?f(x)?xf(x??x)?f(x)??x??x?x?0?x?0＝lim
?x?0＝lim?x?0?lim(??x?0)
＝lim?x?0?limf(x??x)?f(x)
?x?0＝f?(x)?f?(x)?2f?(x)
（2）lim解：limf(x?2?x)?f(x??x)?xf(x?2?x)?f(x??x)?x?0
f(x?2?x)?f(x)?f(x??x)?f(x)?xf(x??x)?f(x)?xf(x??x)?f(x)?x?x?0＝lim2?x?0?xf(x?2?x)?f(x)2?xf(x?2?x)?f(x)2?x＝lim?x?0
?lim?lim)?x?0
＝2lim?x?0?x?0
＝2f?(x)?f?(x)?f?(x)
9
（3）lim解： limf(x?3?x)?f(x??x)?xf(x?3?x)?f(x??x) ＝limf(x?3?x)?f(x)?f(x??x)?f(x)?xf(x??x)?f(x))
?xf(x??x)?f(x)?x?x?0?x?0＝lim(?3)?x?0?xf(x?3?x)?f(x)?3?x
?x?0?lim?x?0＝?3limf(x?3?x)?f(x)?3?x?x?0?lim
?x?0＝?3f?(x)?f?(x)??4f?(x)
5． 设函数f(x)???1?x?1?xx?0x?0，讨论该函数在x?0处是否连续，是
否可导，若可导则求出f?(0)。
解：∵f(0)?1，limf(x)?lim(1?x)?1，limf(x)?lim(1?x)?1
x?0?x?0?x?0?x?0?∴该函数在xx?0?0处连续．
1?x?1xx?0lim?f(x)?f(0)x?0?lim???1，lim?x?0f(x)?f(0)x?0?lim?x?01?x?1x?1
∴该函数在x?0处不可导．
36． 函数f(x)??f(0)。
x2，在x?0处是否连续，是否可导？若可导则求出
解：∵f(0)?0，limf(x)?limx?03x?0x12?0， ∴该函数在x?0处连续．
limf(x)?f(0)x?03x?0?limxx2x?0?limx?03x??∴该函数在x?0处不可导．
1??xsin7． 设函数f(x)??x?0?x?0x?0，证明该函数在
x?0处连续，但
在
x?0处不可导．
1xx?0x?0解：∵f(0)?0，limf(x)?limxsinf(x)?f(0)x?0xsin?limx?0?0， ∴该函数在x?0处连续．
limx?0?01x?limsinx?0x?0x1不存在∴函数在x?0处不可导．
8．计算下列函数的导数 (2)
f(x)?3(x2?3x?2)
10