由于
?2?2x?x??y?x2x?1??0??x?2x2??x?x?x?121212
因为limx?(12)?112x(x?)f(x)?f()22?1 2?lim2x?x?0?lim1?1?111x?()x?()x?x?x?22222limx?(12)?11?2x(x?)f(x)?f()22??1 2?limx?2x?0?lim1?1?111x?()x?()x?x?x?22222?12所以函数在点x??4x?1y????1?4x?处导数不存在， x1212?12为不可导点。
14x?x?又， 令y??0，得驻点x?，
列表 x f?(x) f(x) (??,) 4114 11(,) 4212 (12,??) ? ↗ 1410 极大值 1－ ↘ 18不存在 极小值 ，
? ↗ 由上表可见，函数在x?12处取得极大值f()?4在x?处取得极小值f()?0
213.判定下列曲线的凹凸性，并求拐点：： （1）y?4x?x2
解：函数的定义域为(??,??)
y??4?2x，y????2?0
所以曲线在(??,??)上是凸的。没有拐点。 （2）
f(x)?x?lnx
221
解：函数的定义域为(0,??)
2(x??12x)(x?212f?(x)?2x?1x，f??(x)?2?121x2?2x?1x22)
令f??(x)?0，得x1??12121（舍），x2?12
当x?1时，f??(x)?0，所以函数的凹区间为[,??)
2当x?1时，f??(x)?0，所以函数的凸区间为(0,]。
2拐点为(22,1?ln22)。
（3）y?x?1x，(x?0)
解：函数的定义域为(0,??)
y??1?1x2，y???2x3?0，x?(0,??)。
所以曲线在(??,??)上是凹的。没有拐点。 （4）
f(x)?xe?x
解：函数的定义域为(??,??)，f?(x)?e?x?xe?x，
?x?x?x?xf??(x)??e?e?xe?e(x?2) 令f??(x)?0，得x?2，
当x?2时，f??(x)?0，所以函数的凹区间为[2,??)， 当x?2时，f??(x)?0，所以函数的凸区间为(??,2]， 拐点为(2,2e2)。
14.求下列函数的最大值和最小值： （1）y?x?4x?8，x?[?1,1]
43解： y??4x3?12x2?4x2(x?3)， 令y??0，得驻点x1?0， x2?3（舍）
22
因为y(0)?8，y(?1)?13，y(1)?5
所以函数的最大值为y(?1)?13，最小值为y(1)?5。 （2）y?4e?ex?x，x?[?1,1]
?(2e?1)(2e?1)exxx解： y??4e?ex?x， 令y??0，得驻点x??ln2，
1e因为y(?ln2)?4， y(?1)?4e1e?e， y(1)?4e?
所以函数的最大值为y(1)?4e?（3）y?xe解： y??e?x，最小值为y(?ln2)?4
?x2，x?[?1,1]
?x22?xe?x(?2x)?e?x(1?2x2)??2e(x?2222)(x?22)，
令y??0，得驻点x1??2212e22，x2?212e12e22
1e因为y(?)??，y(222)?，y(?1)??，y(1)?2211e
所以函数的最大值为y(1x)?，最小值为y(?)??2e。
（4）y?x?1x2， x?[12,2]
解：y??1??(x?1)(x?1)x12 令y??0，得驻点x1??1（舍），x2?1
52因为y(1)?2，y()?21212?2?，y(2)?2?5212?52，
所以函数的最大值为y()?y(2)?，最小值为y(1)?2。
17.商店销售某商品的价格为 P(x)?e?x（x为销售量）求收入最大时的价格。
?x解：设收入函数为R(x)，则R(x)?xp(x)， 即 R(x)?xe
R?(x)?e
?x?xe?x?e(1?x)， 令R?(x)?0，得驻点x?1。
23
?x因为R??(x)??e?x(1?x)?e?x?(x?2)e?x，R??(1)??1e?0
由于驻点惟一，所以R(1)为函数的极大值，也是最大值，
?1因此x?1时收入最大，此时的价格为p(1)?e?1e
第四章作业解答
1．用积分公式直接求下列不定积分： （1）?解：?9x?4xx?1x434dx
?32?329x?4xx?1x92423dx??(9x?4x?C??x?3)dx?9?xdx?4?xdx??x?3dx
?x?8x?12?x?2922x?28x?12x2?C
（3）?解：
3x?3x?1x?13x?3x?1x?1322dx
42?2dx??
3x(x?1)?1x?1222dx??3xdx??21x?12dx
?x?arctanx?C（5）?(3e)5xdx
解：?(3e)dx??[(3e)]dx?5x5x[(3e)]ln(3e)5x5?C?(3e)5x5ln3?5?C
（7）?sin解： ?sin2x2x2dx
2dx??1?cosx2dx?12?dx?12?cosxdx?12x?12sinx?C
2．用积分公式直接求下列不定积分： （1）?解：?(x?1)x22dx
(x?1)xdx??x?2x?1x231dx??(x2?2x2?x?12)dx
24
?255x2?4331x2?2x2?C
（2）?xxxdx
1解：?xxxdx??x2（3）?解：??cos2xsin2?14?187dx??x8dx?81515x8?C
xcos2xdx
cos2xsin22xcos2xdx??cossin22x?sinxcos22xxdx??(1sin2x?1cos2x)dx
?(cscx?sec22x)dx??cotx?tanx?C
（4）?解：?1?cosx1?cos2x2dx
1?cosx1?cos2xe(x?exxxdx??1?cos2cos22xxdx?1?2cos12xdx?12?dx?12tanx?12x?C
?x（5）?解：?)dx
e(x?ex?x)dx??edx??x1xdx?e?lnx?Cx
3．用第一类换元法求下列不定积分： （1）?e?xdx
解：?e?xdx???e?xd(?x)??e?x?C （2）?42x?1dx
5解：?42x?1dx?114?(2x?1)2d(2x?1)?1(2x?1)4254?C?255(2x?1)4?C
（3）?解：?dx(1?2x)dx3
111214(1?2x)3???2(1?2x)d(1?2x)??3?(1?2x)?3d(1?2x)?(1?2x)?2?C
25