f(1)?1 由零值定理，在(0,1)5内至少存在一点?，使得 f(?)?0。即方程
x?x?1?0至少有一个正根。
（2）唯一性：假设方程有两个正根x1，x2，则f(x1)?f(x2)?0，又在[0,1]上f(x)连续可导，由罗尔定理知，在(0,1)内至少存在一点?，使得 f?(?)?0。而
4f?(x)?5x?1?0，与假设矛盾，
由（1）（2）知，方程x5?x?1?0只有一个正根。 （方法二）
（1）存在性：设f(x)?x5?x?1，则f(x)在[0,1]上连续，又因为f(0)??1，
f(1)?1 由零值定理，在(0,1)内至少存在一点?x?x?1?0至少有一个正根。
5，使得 f(?)?0。即方程
（2）唯一性：因为f?(x)?5x4?1?0，所以 函数f(x)?x5?x?1在(??,??)上单调递增，故函数f(x)?x5?x?1与x轴最多有一个交点。即方程x5?x?1?0最多有一个正根。
由（1）（2）知，方程x5?x?1?0只有一个正根。 （B） 1． 证明方程1?x?证：（方法一）
（1）存在性：设f(x)?1?x?f(?2)??13x22?x36?0只有一个实根。
x22?x36，则f(x)在[?2,0]上连续，又因为
，f(0)?1，由零值定理，在(?2,0)内至少存在一点?，使得 f(?)?0。
x2即方程1?x?2?x36?0至少有一个实根。
（2）唯一性：假设方程有两个实根x1，x2，则f(x1)?f(x2)?0，又f(x)在[?2,0]上f(x)连续可导，所以由罗尔定理，在(?2,0)内至少存在一点?，使得 f?(?)?0。而f?(x)?1?x?
x22?12(x?1)?212?0，与假设矛盾，
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由（1）（2）知，方程1?x?（方法二）
x22?x36?0只有一个实根。
（1）存在性：设f(x)?1?x?f(?2)??13x22?x36，则f(x)在[?2,0]上连续，又因为
，f(0)?1，由零值定理，在(?2,0)内至少存在一点?，使得 f(?)?0。
即方程至少有一个实根。 （2）唯一性：因为f?(x)?1?x?x2x22?12(x?1)?212?0，
所以，函数f(x)?1?x?x22x3?x36在(??,??)上单调递增，
x2故函数f(x)?1?x?2?6与x轴最多有一个交点，即方程1?x?x22?x36?0至
少有一个实根。 由（1）（2）知，方程1?x?6． 用洛必达法则求极限： （1）求 limln(1?x)x2?x36?0只有一个实根。
x?0
1解： limx?0ln(1?x)xx?lim?x[ln(1?x)]?x?x?01?x?lim?lim?1 x?01?xx?011（2）求 limxe?ex?0?xsinx?lim
(e?ex?x解： lime?e)?x?0sinxx?0(sinx)??lime?ex?xx?0cosx?2
（3）求 limx?a解： limx?asinx?sinax?a?limx?a
(sinx?sina)?(x?a)?sinx?sinax?a?limcosx1x?a?cosa
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（4）求 limx??解： limsin3xtan5xsin3xtan5x?lim
(sin3x)?(tan5x)?x???lim3cos3x5sec5x352x??x??
35?lim35x??cos3xcos5x?mn2(?1)(?1)2??
（6）求 limxmn?ax?ax?amn
(xmn解：limxmn?ax?ax?a?lim?a)?nmx?a(x?a)??limmxnxm?1n?1x?a?manam?1n?1?mnam?n
（7）求 lim?x?0lntan7xlntan2x
12lntan7x?lim(lntan7x)??limtan7x解： lim? ??x?0(lntan2x)?x?01x?0lntan2x22sec2x7sec7xtan2x?lim?x?07sin4x2sin14x?lim?x?07cos4x?42cos14x?14?1
（11）求 limxcot2x
x?0xcot2x?lim解：limx?0x?0122xtan2x?limx2xx?0?12
（12）求 limxex?0x
1111解：limxex?02x2?limex1x2x?0?lim(ex)?(1x22x?0?limex(?2x?2x2?3)12)?x?0?3?limex???
x?0211.确定下列函数的单调区间： （1）y?2x?6x?18x?7
解：函数的定义域为(??,??) y??6x?12x?18?6(x?1)(x?3)
232 18
令y??0，得驻点x1??1，x2?3 列表： x (??,?1) -1 0(?1,3) 3 0(3,??) y? y ? - ↘ ? ↗ ↗ 所以函数的单调递增区间为(??,?1]，[3,??)单调递减区间为[?1,3]。 （2）y?2x?8x，(x?0)
解：函数的定义域为(0,??)
y??2?8x2?2(x?2)(x?2)x2 令y??0，得驻点x1??2（舍），x2?2
当x?2时，y??0，所以函数的单调递增区间为[2,??) 当0?x?2时，y??0，所以函数的单调递减区间为(0,2]。 （3）f(x)?x?2lnx，
解：函数的定义域为(0,??) f?(x)?2x?令f?(x)?0，得驻点x1??1（舍），x2?1
当x?1时，y??0，所以函数的单调递增区间为[1,??) 当0?x?1时，y??0，所以函数的单调递减区间为(01]。 （5）y?(x?1)(x?1) 解：函数的定义域为(??,??)
y??(x?1)?(x?1)3(x?1)?2(x?1)(2x?1)
322322x?2(x?1)(x?1)x
令y??0，得驻点x1??1，x2?12
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当x?1212时，y??0，所以函数的单调递增区间为[,??)
211当x?时，y??0，所以函数的单调递减区间为(??,]。
212.求下列函数的极值：
（1）求函数f(x)?x5?5x?1的极值 解：解：函数的定义域为(??,??)
42f?(x)?5x?5?5(x?1)(x?1)(x?1)
令f?(x)?0，得驻点x1??1，x2?1， 由于f??(x)?20x3，则
33f??(?1)?20(?1)??20?0，f??(1)?20?1?20?0
所以函数在x??1处取得极大值f(?1)?5，在x?1处取得极小值f(1)??3。 （2）求函数y?xlnx的极值 解：函数的定义域为(0,??)
y??lnx?1
令y??0，得驻点x?1x1e，
由于y???，则y??1ex?1e?e?0
1e1e所以函数在x?处取得极小值y()??。
（3）求函数y?x2x?1的极值 解：函数的定义域为(??,??)
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