解：
f?(x)?3(x2?3x?2)??3(2x?13x?23)?23x?33x32
(4) f(x)?解：f?(x)?xx?122
?1?x222(x?1)?x?2x(x?1)22(x?1)
(6) f(x)?tanx?xcotx
解：f?(x)?sec2x?[cotx?x(?csc2x)]?sec2x?cotx?xcsc2x (8) y?sinnxcosnx 解：y??nsinn?1x(sinx)?cosnx?sinnx(?sinnx)(nx)?
n?nsin?nsin?nsinn?1x?cosx?cosnx?sinx?sinnx?n
n?1x(cosx?cosnx?sinx?sinnx) x?cos(x?nx)?nsin223n?1n?1x?cos(n?1)x
(12) y?x2(x?a)
y?2lnx?32ln(x?a)
22解：方程两边同时取对数 ln方程两边同时对x求导
y??y(1yy??2x?32x?a)?x?2x22
2222x?3xx?a22x?a(5x?2a)
2(13) y?解：y??2tanx?1tanx?1
22sec2x(tanx?1)?(2tanx?1)sec(tanx?1)2x?3sec2x2(tanx?1)?3cos2x(tanx?1)2
9．计算下列函数的导数： （1）sinxy?y，求
dydx；
解：方程两边同时对x求导，有 (sinxy)??y? 即 cosxy(y?xy?)?y? 所以 y??ycosxy1?xcosxy
11
（2）x?y?arctany，求
dydx；
解：方程两边同时对x求导，有 x??(y?arctany)? 即 1?y??11?y2y? 所以
dydx y??1?y2?y22
（3）ysinx?cos(x?y)，求；
解：方程两边同时对x求导，有 (ysinx)??[cos(x?y)]? 即 y?sinx?ycosx??sin(x?y)(1?y?)
ycosx?sin(x?y)?[sin(x?y)?sinx]y?
所以 y??sinx?(y)?ycoxssinx?(y)?sixn
dydxx?0（4）x2?3x?y3?3xy?8?0，求；
解：方程两边同时对x求导，有 2x?3?3y2y??3(y?xy?)?0 即 (3y2?3x)y??3?2x?3y 所以 y??dydxx?03?2x?3y3y?3x2
当x?0时y?2 因此 （6）y?(1?xx)x?3?0?3?23?2?02??14
，求
dydx；
1解： 在等式两边取对数，有 lny?xln(?1)
x方程两边同时对x求导， 得
y??y(ln1?xx11?x1yy??ln1?xx?x?x1?xxx??12
11?x)
?) 所以 y??(1?xx)(ln1?xx??y?asin3tdy（7）?，求； 3dx?x?acost解：
dydx?(asin33t)?(acost)??3asin2tcost2?3acostsint??tant
12
?y?t?t2dy （8）?，求； 2dxx?1?t?解：
dydx?(t?t)?(1?t)?22?1?2t?2t?1?12t
?y?atsintdy（9）?，求
dx?x?atcost；
sint?tcostcost?tsint解：
dydx?(atsint)?(atcost)??asint?atcostacost?atsint?
?y?a(1?cost)dy（10）?，求
dx?x?a(t?sint)；
sint1?cost解：
dydx?[a(1?cost)]?[a(t?sint)]??asinta(1?cost)?
dydxx?10. 设f(x)可导,且y?f(sin2x)?f(cos2x)，求；
?4解：y??f?(sin2x)(sin2x)??f?(cos2x)(cos2x)?
?f?(sin?f?(sin2x)2sinxcosx?f?(cosx)sin2x?f?(cos?sin2x?2x)2cosx(?sinx)
222x)sin2x?sin2x[f?(sin2x)?f?(cos2x)]
所以，
dydx?4?4[f?(sin?4)?f?(cos2?4)]?sin?11[f?()?f?()]?022214. 求下列函数的微分： (1) y?x?1x?122 ,求dy；
2解：dy?2xdx(x?1)?(x(x222?1)2xdx?1)?4xdx(x?1)22?4x(x2?1)2dx
(2) y?ln1?sinx1?sinx1?sinx1?sinx ,求dy；
1212解： y?ln?ln(1?sinx)?ln(1?sinx)
13
dy??111?cosx21?sinx21?sinx?d(1?sinx)?dx?1?11121?sinxdx?d(1?sinx) ??2cosx2cosx21?sinx21?sinxdx??1cosxdx
(3) y?x1?x2arcsinx , 求dy
解： dy?arcsinxdx1?x2?x1?x2darcsinx
?arcsinx(1?x2?x?2x21?x2)dx?x1?x211?x2dx
?(1?2x1?x22arcsinx?x)dx
(4) x2?3xy2?2y?y3?5 , 求dy;
解：等式两边求微分，有 d(x2?3xy2?2y?y3)?d5 即 2xdx?3y2dx?3x?2ydy?2dy?3y2dy?0 所以 dy?(5) sinxy?xy2x?3y222?6xy?3ydx
，求dy;
xy?dxy解：等式两边求微分，有 dsin即 cos(6) y
y?ycosxyxcosxy?xdx??yxdx
xy(ydx?xdy)?(ydx?xdy) 所以 dy??1?xey ，求dy;
?d(1?xe)
y解：等式两边求微分，有 dy即 dy?dxey dy?edx?xedyyy 所以 dy?eyy1?xedx
16. 求下列函数的弹性： (1) y解：
?ax?b
EyEx?dyxax ??dxyax?b?(2) y
?x
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解：
EyEx?dyx??1x???x?? ?dxyxx(3) y解：
?a
EyEx?dyxxx??alna?x?xlna dxya习题三作业解答
3．不用求出函数f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)的导数．说明方程f?(x)?0有几个实根，并指明他们所在的区间。
解：因为f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?0， 且函数f(x)在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]上连续可导，由罗尔定理知，在(1,2)上至少存在一点?1 ，在(2,3)上至少存在一点
?2 ，在(3,4)上至少存在一点?3，使得 f?(?1)?0，f?(?2)?0，f?(?3)?0
故方程f?(x)?0至少有三个实根。
而f?(x)是三次多项式最多有三个实根，因此方程f?(x)?0只有三个实根，它们分别在区间(1,2)(2,3)(3,4)上。
４．若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x1)?f(x2)?f(x3)，其中
a?x1?x2?x3?b，证明：在(x1,x3)内至少存在一点?，使得 f??(x)?0
证：因为a?x1?x2?x3?b，且f(x)在(a,b)内具有二阶导数，所以 f(x)在区间[x1,x2]，[x2,x3]上连续可导，由罗尔定理知，在(x1,x2)上至少存在一点?1 ，在(x2,x3)上至少存在一点?2 ，使得 f?(?1)?0，f?(?2)?0。 又因为(?1,?2)?(x1,x3)?(a,b)，所以f?(x)在区间[?1,?2]上连续可导，由罗尔定理知，在(?1,?2)上至少存在一点 ??(?1,?2)?(x1,x2) ，使得 f??(?)?0。 5． 证明方程x5?x?1?0只有一个正根。 证：（方法一）
（1）存在性：设f(x)?x5?x?1，则f(x)在[0,1]上连续，又因为f(0)??1，
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