所以?1dx1?ex0??e1duu?1?ue1?e1u(1?u)1du??e1(1u?11?u)du
?[lnu?ln(u?1)]1?[lne?ln(e?1)]?[ln1?ln(1?1)] ?1?ln(e?1)?ln2?1?lne22e?1
（9）?1x1?lnx1dx
解：设u?lnx，则x?eu，dx?eudu。x?1时u?0，x?e2时u?2 所以?e21x1?lnx201dx??21eu01?uedu?u?211?u0d(1?u)
?21?u?21?2?21?0?2(3?1)
13．用分部积分法法计算下列定积分： （1）?解：???0ln20xe?xdx
ln2ln2xe?xdx???ln2020xde?x??xe?ln2?xln20??ln20e??xdx??ln2e?1?12??ln2??ln20e?xd(?x)
ln220?eln2?x??ln22?(e?e)??0ln2212ln22
（2）?解：
12xe3?xdx
1ln22?ln20xe3?x2dx???2e0xde2?x??12xe2?x2ln2?01?2ln20e?x2dx2
??ln2?e12?ln2?12??12ln2?x20d(?x)??14122ln24??12e?x2ln20
??ln24??e?ln2e0??ln24??1?ln24
（3）?2e2xcosxdx
0??2x??解：?2e0cosxdx?2x?20e2xdsinx?e?2xsinx20???20sinxde2x2x
??20??e?e??2?2e0sinxdx?e??20??2?2e02xdcosx?e?2ecosx?2?2cosxde02x
??2e2xcosx?4?2e02xcosxdx
36
?5?2e02xcosxdx?e??2
?所以?2e02xcosxdx?e??25
?（4）?2xsin2xdx
0?解：?xsin2xdx??201?20??2?20xdcos2x??12xcos2x2?1?200?2cos2xdx
1??1???cos2??2224??cos2xd2x??4?14?sin2x20
?4?1410sin??14sin0??4
（5）?ln(1?x2)dx
解：?ln(1?x2)dx?xln(1?x2)0??xdln(1?x2)?ln2?00111?10x2x1?x2dx
?ln2?2?1x?1?11?x10202dx?ln2?2?dx?2?01111?x20dx
?ln2?2x?2arctanx10?ln2?2(1?0)?2arctan1?2arctan0
?ln2?2?2?4?ln2?2??2
22.求下列曲线围成的平面图形的面积：
x（1）y?e，y?e与x?0；
解：作图，如右图
?y?ex解方程组?得交点(1,e)
y?e?取积分变量为x则积分区间为[0,1]，故所求面积
S???e?e?dx??ex?e?1xx100?e?e?0?e?1
0x(2) y?e，y?e?x，x?1；
解：作图，如右图
?y?ex解方程组??x得交点(0,1)
?y?e
37
取积分变量为x则积分区间为?0,1?，故所求面积为
S???e01x?e?x?dx
?1?e?e(3) y2?x?x?10?e?e?e?e?e?e?1?2
00?2x，y?x?4；
解：作图，如右图
?y2?2x解方程组?得交点(2,?2)，(8,4)
?y?x?4取积分变量为
4y则积分区间为(?2,4)，故所求面积为
42?y?1?1??dy??y2?4y?y3?S???y?4??2?62??2???
?2
?
12?16?4?4?16?64?12?4?4?(?2)?16?(?8)?184) y?1x，y?x与x?2
解：作图，如右图
1??y?解方程组?x得交点(?1,?1)，(1,1)
??y?x取积分变量为x则积分区间为?1,2?，故所求面积为
2S??21?12?1???x?lnx? ?x??dx?x??2?1?12?1?ln1??12?4?ln2?232?ln2
(5) y?x，y?x，y?2x；
解：作图，如右图
38
?y?x2解方程组?得交点(0,0)，(1,1)
y?x??y?x2解方程组?得交点(0,0)(2,4)
?y?2x取积分变量为
x则积分区间为(1,2)，
故所求面积为
S?S1?S2,
? ?
（6）y?x?4x，y?0；
解：作图，如右图
3?0?2x?x?dx??1x2112?2x?x?dx
2220?213?1817??x?x???4??1??
3336??12?y?x3?4x解方程组?得交点
y?0?(?2,0)，(0,0)，(2,0)。
取积分变量为x则积分区间为(?2,2)， 故所求面积为
S?S1?S2,
???x?203?4xdx?0???x023?4xdx
2?16?14?142?2???x?2x???x?2x??0??8?4?8?8
444???2??0
14．求由下列已知曲线围成的平面图形绕指定的轴旋转所得的旋转体的体积 （1）y?x2与x?y2绕y轴； 解：作图，如右图
?y?x2由?得交点(0,0)和(1,1) 2x?y?yy?x2y?x 39
Ox确定积分变量为y，积分区间为?0,1?。所以 V???[?y??(y2)2]dx???(y?y4]dx
11002 ??(y22?y515)0??(12?15)?3?10
（2）y?x3与x?2,y?0绕x轴及y轴 解：作图，如右图 当x?2 时 y?8
绕x轴时，确定积分变量为x，积分区间为?0,2? Vx????(x3)2?dx???x6dx??2200x727?01287?
绕y轴时，确定积分变量为x，积分区间为?0,2? ，所以 Vy?2??20x?xdx?2?3?20xdx?2?4x525?0645?
方法二：绕y轴时，确定积分变量为y，积分区间为?0,8? ，所以
Vy???80[2?(3y)]dx??22?820(4?y3)dy??(4y?3558y3)0??(32?965)?645?
（3）y?cosx与y?0,x??,x?0绕y轴 解：作图，如右图 当y?0 时 x??2
?确定积分变量为x，积分区间为?0,? 和?,??，所以
?2??2??????? Vy?2?
?20x?cosxdx?2?????x?(?cosx)dx?2?2?20xdsinx?2???xdsin2?x
???2?xsinx20?2??20sinxdx?2?xsinx??2?2???sin2?xdx
40