习题1.1
1. A-B=［0,1］ B-A= 2. (0,1)=(-1,1) (1,)=(，)
?(0,1)=(-1,0)∪(0,1) ?(0，)=(,0)∪(0，) 3. (-，)=(0，)
(，)=(2，) (0.9,1.1)=(1,0.1) (9.99,10.01)=(10,0.01)
习题1.2
1. f（=［0，+］ 2. f（A）=（-1,1）
3. ［-2.1］=-3 ［-0.5］=-1 ［0］=0 ［1.1］=1 ［9.99］=9 4. 证：
（1）f（0）=f（2π） 即它不是一对一的映射
（2）因为-1≤sin≤1，所以当x∈R时，有sinx∈［-1，1］。即此映射是满映射
（3）因为当x∈R时，sinx≠2恒成立。又2∈R，所以此映射不是满映射
5. 它的逆映射是：x=arccosy：［-1,1］→［0，π］ 6. 它的逆映射是：x=arctany：R→（-，） 7. g（f（x））=：（0，+）→［-1,1］
习题1.3
1. 解：由分界点公理可知，点集A,B的分界点是点1.
2. 解：由分界点公理可知，区间?1,3?上的每一个点都是分界点。
n?1;?点集A,B的分界点是3. 解： ?当n???时，1. n?14. 解：当外界多边形与内接多边形的边数趋向于无穷大时，它们的形状将无限
接近于一个圆，?数集A,B的分界点是πR2
由于分界点公理，必存在数c;使?数集A的任何数?数集A'的任何数 ，5. 证明：
得：数集A的任何数?c?数集A'的任何数 又?A?A'?R,A?A'??
B中 ?c要么在A中，要么在即，要么数集A有最大数，要么数集A'有最小数
6. （1).A?{r：r为有理数，r2?2},B?{r：r为有理数，r2?2} (2).A?{X:X为有理数，X?ln2},B?{X:X为有理数，X?ln2}
习题1.4
1.上界：?1,??? 下界：???,0?
2.证明 若数b0是数集A的下界，则比b0小的任何数都是数集A的下界，因此
有下界的数集就有无穷多的下界.证毕. 3.(1)1;0 (2)10;1 4.1;10
5.证明 假设非空数集A有下界,那么所有下界组成了非空数集 B??b:b是A的下界?
根据下界的定义
\数集B的每个数\?\数集A的每个数\因此根据分界点公理,存在实数c使得
\数集B的每个数\?c?\数集A的每个数\
从右边的不等式看c是数集A的下界;从左边的不等式看,c是数集A最大的下界.
最后证惟一性.用反证法.假设数集A有两个不同的下确界b1,b2,那么它们都应该是下界;若b1是下确界,则b1?b2.同理b2?b1.这样一来b1?b2.这与假设矛盾.证毕.
6.证明 用a0表示数集A的最小数,那么a0?A,并且 数a0?\数集A的每个数\
因此a0事数集A的一个下界,并且比a0大的数都不是A的下界.由此可见,a0就是A的最大下界,即下确界.证毕.
7.证明 令a0?infB.因为a0是数集B的下界,而数集A的元素都是数集B的元素,所以a0也是数集A的下界.因此A的最大下界infA?a0.证毕. 8.解:设圆的面积为s0,内接n边形的面积为sn,外接n边形的面积为
p.?n?3?
n(1)当个n点无限靠近时，sn?0；当n???且这n个点在圆周上均匀分布时，
sn?s0??R.故A?0,?R.所以infA?0,supA??R.
(2)n?3时，外接多边形的面积最大，当n逐渐增大时，外接多边形的面积逐渐减小，并越来越接近于圆的面积，即
2?2?2pn?s0??R?n????。所以
2infB??R.
9.由已知条件（1）（2）可知数集A的所有上界组成了数集A?.因为 “数集A的任何数”?数集A?的任何数 因此根据分界点公理,存在实数c使得
2 \数集A的任何数\?c?\数集A?的任何数\
由确界定理可知：c是数集A的上确界，是数集A?的下确界.即supA?infA??c.证毕.
10.证明 对于任意的自然数n,我们有1?1. n?1然后任取??0.考察不等式
n111?1??1??????n??1
n?1n?1n?1?1现在只要取n0??1,就有数
? a??故supA?1.证毕.
11.证明 对于任意的自然数n,我们有然后任取??0.考察不等式
11 ?0???n?
n?1现在只要取n0?,就有
?1?0. nn?1?? n?10o1 n0故infA?0.证毕。
?0??
习题1.5
x1?x2???xnn?x1x2?xn?1并且等号成立时x1?x2??xn
nn2.n(1?x)n??1?x，又因为n?1，所以等号成立的条件是
111????1?x1?x1?xx?0。
1.
3.nn?n?n?n?2222。 ?1???1?nnnn34.5xyz?527xy()?27(z33x?y?z5) 5)3?1
5.2yz?(x22x?y2?z36.书上有，答案略
n?12?n?1?n2?n,当n?1,等式成立，当n?2时，n?n,综上所述，n???。 7.22??8.
n?1nabn?a?nb。 n?1109.不会
a?b2?c3?d4?a?2b?3c?4d?2341023410.因为abcd?10，所以abcd???11.因为tan???，所以??arctan?。
12.不会
习题2.1
1. ,根据均值不等式知：, 即 有界
2. 根据几何平均和算术平均可得= 即 单调递增
根据几何平均和调和平均可得= 单调递减 所以 所以都有极限 3. 同上可知 inf sup{}=4 4. 根据题目意思
假设
因为 所以< 0成立 所以该函数严格单调递增 （缺上界的证明） 5. =1, 根据题意可知，
=1
所以单调递减 有下界1 6.
所以该数列单调递增
所以有下界 7.根据题意
所以数列单调递增
假设的一个上界是M,则
所以M也是的上界
习题2.3
10??。