７证明：用反证法，如果数列｛an｝是收敛的，那么根据柯西收敛准则对任意给定的
?>０，存在自然数Ｎ，当ｍ，ｎ＞Ｎ时，｜am－an｜
现在取ｎ＞Ｎ（ｎ取奇数），再取ｍ＝２ｎ，那么
a2n－an＝２
由此推出：０.５<任意正数?，这是不可能的，证毕。
５：（１）证明：任取?＞０，考察am，an的差（不妨设ｍ＞ｎ）； ｜am－an｜＝｜
111＋＋．．．＋｜ 222m(n?1)(n?2) ?111＋＋．．．＋ n(n?1)(n?1)(n?2)(m?1)m1n111）＋．．．．＋（－） n?1m?1m ＝（－ ＜
1n现在令>２，得到ｎ＞根据以上分析可发现，只要取Ｎ>[]+１ 那么当ｍ，ｎ＞Ｎ时｜am－an｜
liman存在
n??1n1?1?（２）证明：an＝2＋
?２）
1111111＋。。。＋＋＋。。。＋<２（ｎ?22n211?2(n?1)n所以数列{an}是单调增，有上界的数列。所以数列{an}收敛。 ８(１)证明：sn－sn?1＝｜an—an?1｜>０ 所以数列{an}是单调增的数列. (２) (３)
1111n?(1?n)(1?)?(1?2)?...?(1?n)2 222＝９(１) 证明：nx?nnn??3?5?１０.数列｛sin｝的一个子数列可为｛sin，sin，sin。。。
2222n?2(k)1??sin。。。｝即｛１.－１,１，－１。。。｝该子数列发散，故｛sin｝
22发散。
习题2.5
an?-1 1. 例an=(-1)n liman?-1 但limn??n??2. {1,0,1,0，……} 该数列有界但不收敛 3. 证明：当 x≦0时 e-1?1-e?e-1
当x≧0时e-1?e-1 所以e-1?e-1 4证明：任取??0，考察不等式 ln因为limn??xxxxxx-xxn???-??ln?xn???e?-?xn?e,另外，
?xn?1?e，所以存在自然数n,使得
? xn?e（当n?n1时）
-x类似的，因为limx?1?e-?，所以存在自然数n,使得xn?e(当n?n2时)
n??n-????这样一来，当n>max{n,n2}时，（2.5.2）,lnexne,因此由
xxn??
5证明：根据不等式：e?e?2,不管x?0,还是x?0，都有e-1?e-1另外
对任意给定的??0,x-xxexn-1???xn?ln(1??)，现在，因为
limxn??n?0?ln(1??)，所以存在自然数N，当n>N时，
xn?ln(1??)
x所以e-e??,因此limex?1
nnn?? 习题3.1
1.f(g(x))=ex x?R,
x2.f(f(x))=
2x?12,
3.从中间变量的定义域入手，我们有 f(g(x))=
{f(x?2), 1?f(2?x2),x?1x?3
=
{
1，x?1或2?x?3
1?x?20，4.f(g(x))=
{
ex?2,x??1x?2,?1?x?0e2x2?1,0?x?2 2x2?1,x?（x?1)?5(x?1)?6 5.f(x+1)=
2?f(x)?x?5x?6
111?f(x)??1?6.令x=, xxx211227.f(x?)?(x?)?2 ?f(x)?x?2
xx22shx?1?chx 8.（1）证：
ex?e?x2ex?e?x2)?1?() (22e2x?e?2x?24e2x?e?2x?2??
44422?shx?1?chx
（2）证：令
ex?e?xy?shx?，两边同?2，2y?ex?e?x
2xe 随后，方程两边同时乘以
令u=e （u>0)
2u?2yu?1?0，解关于u的二元一次方程 即
x2x?u?y?y?1?e 取对数
再交换x,y得arshx?ln(x?（3）证：令
x2?1)
ex?e?xy?chx?，两边同?2，2y?ex?e?x
2xe 随后，方程两边同时乘以
xe 令u= （u>0)
即u2?2yu?1?0，解关于u的二元一次方程
2x?u?y?y?1?e 取对数
2archx?ln(x?x?1) 再交换x,y得
e?e （4）令y?thx?xe?e?xx?xxe 上下同乘以
e2x?1x 即y?2x，令u=e （u>0)
e?122u?1?y(u?1) 即
1?y?u?1?y，交换x，y并取对数
11?x 得arthx?ln21?x
f(x)?f(?x)9.证：（1）?(x)?
2 ?（?x)?f(?x)?f(x)??(x)
2 ??(x)是偶函数
f(?x)?f(x) ?(?x)?
2f(x)?f(?x))??(?x) ??(x)??(2 ??(x)是奇函数
f(x)， （2）将?(x)和?(x)相加，即得
?f(x)可以表示为某个偶函数和某个奇函数之和。
习题3.2
函数的下线是4
??1.函数的上限是4?2.函数的上限是1 函数的下线是0 3.函数的上限是1 函数的下线是0 4.函数的上限是2 函数的下线是?2