2.证明：令f?x??x?e3?1，则显然f?0?f?4??0
由零点定理得存在一点???0,4?使得f????0
?方程x?e3?1在区间?0,4?上至少有一个根。
3.证明：令h?x??f?x??g?x?，则h?a?h?b??0 由零点定理得存在一点???a,b?使得h????0 即f????g???，证毕。 4.?1?见例题。
?2?证明：设在区间?a,b?上，m?f?x??M，任取k?1,2,3?n. 则?km??kf?xk???kM，又??1??2????n?1 ?m???f?x??M,
kkk?1n ?存在一点???a,b?使得f??????f?x?，证毕。
kkk?1n5.证明：令f?x??x?asinx?b，则f?0???b?0，f?a?b??a?asin?a?b??0 ?f?0?f?a?b??0，即存在一点???0,a?b?,使得f????0 ?有至少一个正根?不超过。a?b 6.证明：
7.证明：假设函数没有零点，但存在异号，?a,b??I,且f?a?f?b??0， 由零点定理得存在???a,b?使f????0， 与假设矛盾，证毕。 8.证明：令g?x??f?x??x，
假设不存在x1使得g?x1??f?x1??x1?0， 不妨设x1?f?x1?，?f?f?x???x 则在?x1,f?x1??上??g?x1??0
?g?f?x1???o?存在???x1,f?x1??使得g????0
即存在x0，使得f?x0??x0，与假设矛盾， 假设不成立，原结论成立。
4.5
2. 证明：对区间(??,??)上任意两点x1和x2, 当x1?x2?h时,
f(x1)?f(x2)?x1?x2?sinx1?sinx2?x1?x2?2coslimh?0?x1?x2x?xsin12?2h 22?w(h)?2h, ?w(h)?0.
3. 证明：对区间(??,??)上任意两点x1和x2, 当x1?x2?h时, f(x1)?f(x2)?x1?x2?x1?x2
x1?x2 ?x1,x2?[1,??) ?x1?1,x2?1 ?x1?x2?2 ?f(x1)?f(x2)?limhw(h)?0 ?函数是一致连续的. ?2n???limn?????xn??0 xn?}和{xn??},使得4. 证明：在区间[1,??)上任取两个数列{xn??)?f(xn?)?ln f(xnx???x???xnx???x????xn? ?ln(1?nn) nn?xn???xnxnxnlimn????)?f(xn?)?0 f(xn 由夹逼原理和对数函数 在点x?1处的连续,性 ?函数f(x)?lnx在区间[1,??)上是一致连续的.
<二>. 取区间[1,??)上任意两点x1和x2, 当x1?x2?h时,
f(x1)?f(x2)?lnx1?lnx2?lnx1x?x?ln1?12 x2x2limx1?x2 f(x1)?f(x2)??0
n??n??x2 ?函数f(x)?lnx在区间[1,??)上是一致连续的.
lim??5. 证明：在区间(0,1)上取两个数列xn 它们满足11???,xn nn?1limlim???xn??0 但是??)?f(xn?)?1 xnf(xnn??n??1在区间(0,1)上不一致连续. x ?f(x)?6. 证明：令F(x)?f(x)?g(x) 在区间I上任取两x点, 1,x2,当x1?x2?h时f(x1)?f(x2)?f(x1)?g(x1)?f(x2)?g(x2)?[f(x1)?f(x2)]?[g(x1)?g(x2)]
?f(x),g(x)是一致连续的 ?f(x1)?f(x2)?0 g(x1)?g(x2)?0
?limF(x1)?F(x2)?0
n??5.1
1. 证明：?v?4?(r??r)3-4?r3=4?r2?r?o（Δr)
33 ?在r?r0处v?4?r3可微
3 dv=4?r2
2. 证明：ΔA=(x+Δx)2-x2=2xΔx+o(Δx) ∴在x=x0处 A=x2可微 dA=2xdx
5.2
1. 证明：函数f(x)?sinx在点x=0处不可导.
证明：假设函数f(x)?sinx在点x=0处可导, 且导数为D,
limsin?xf(x0??x)?f(x0) 则D? ??x?0?x?0?x?x 分类讨论：
limlimsin?x （1）当?x?0时, 原式??1
?x?0?x （2）当?x?0时, 原式??sin?x??1 ?x 1??1, ?原函数在点x=0处不可导.
32. 证明：函数f(x)?x在点x=0处是可导的.
3 证明：假设函数f(x)?x在点x=0处可导, 且导数为D,
3f(x0??x)?f(x0)?x 则D? ??x?0?x?xlim 分类讨论：
?x3 （1）当?x?0时, 原式??0
?x?0?x?x3 （2）当?x?0时, 原式???0
?x?0?x ?原函数在点x=0处是可导的.
3. 设f(x)?(x?x0)?(x), 其中函数?(x)在点x0处连续, 求f?(x0). 解：f?(x0)?limlimlimf(x0??x)?f(x0)lim?x?(x0??x)???(x0)
?x?0?x?0?x?x4. 把极限\
limsint?1\表示为某函数在某点的导数.
t?0t 解：
limsintsinx?1为函数f(x)?在x=0处的导数.
xt?0tlimet?15. 把极限\?1\表示为某函数在某点的导数.
t?0tlimet?1ex?1 解：在x=0处的导数. ?1为f(x)?xt?0t6. 用导数的定义, 求下列函数的导数f?(x0)：
（1）f(x)?ex （2）f(x)?lnx （3）f(x)?cosx
limex0??x?ex0limx0e?x?1x0 解：（1）f?(x0)??e?e
?x?0?x?0?x?x （2）
f?(x0)?limln(x0??x)?lnx0??x?0?x?0?xlimln(1??x?x)ln(1?)lim1x0x01???
?x?x?0x0?xx0x02sin(x0??x?x)sin22??sinx
0?x（3）f?(x0)?limcos(x0??x)?cosx0lim???x?0?x?0?x1,x?0, 求导数f?(x0). x7. 设函数y?f(x)?11?x?limx0??xx0limx(x??x)1? 解：f(x0)???00??2
?x?0?x?0?x?xx08. 设函数f(x)在点x?x0处是可导的, 求下列极限： （1）l1?limf(x0)?f(x0?h)
n?0hlimf(x0?h)?f(x0?h)
h?0hlim1n[f(x0?)?f(x0)]
n??n （2）l2? （3）l3? 解：（1）l1? （2）
limf(x0)?f(x0?h)?f?(x0)
h?0x0?(x0?h)l2?
limf(x0?h)?f(x0)?f(x0)?f(x0?h)limf(x0?h)?f(x0)f(x0)?f(x0?h)?[?]?2f?(x0)h?0h?0hhh1f(x?)?f(x0)0limn （3）l3??f?(x0)
1n??n