1. 证明:任取ε>0,由取自然数N?222?0???n? n?2n2n??0 ,当n>N时，?0N
?n?1?n?1 n?12. 证明：任取ε>0,由
1n时，?1?? 成立，即limn??3. 证明：任取??0，由
nn1?0?2?，令右端<ε，则取自然数2n?1nnN>?,
??0成
1这样的自然数必存在，当n>N时立。
4. 证明：任取ε>0,由an?1nn2?0??成立，即limn??nn2?15n?1015n1?n?2?，使右端???22333n?2n?43?3nn??<ε，即n?，现取自然数N?，则当n>N时，an???，则
?1?13limn??an?1 35.证：由错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+1-错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。+1 任取错误！未找到引用源。>0 令右端 错误！未找到引用源。+1<错误！未找到引用源。 即 n>错误！未找到引用源。 现任取自然数 N>n错误！未找到引用源。 则当n>N时 错误！未找到引用源。=1 成立 6.
n证明
2：任
2取
2ε>0,由，
1?n?n?1??n?2???????1?a??1?na?n?n2?a!a2!a?1?a?N>
4n?0?n2144??,令右端<ε，则n，取自然数?2?n?2?22n?1ana?ann?a,当n>N时，2?1?a??0??成立，即lim2n???1?a?n?0
7.证：由错误！未找到引用源。=1+na+错误！未找到引用源。+……+错误！未找到引用源。>错误！未找到引用源。
又由错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。
令右端小于错误！未找到引用源。 则：n>2+错误！未找到引用源。 现任取自然数N》错误！未找到引用源。
则当 n>N时 错误！未找到引用源。<错误！未找到引用源。成立 8.证明：设?n?2
n!??n?1n??n?c ① n?1?当n?n0时，?n?1??n；又?n为正
n??n据单调原界原理
???收敛，设lim?n??
令①式中n?? limn???n?1?limn???n??
?0 因此????0?0 所以limn??9.同8题 10.同8题
11.（1）∵错误！未找到引用源。 ∴错误！未找到引用源。
∴错误！未找到引用源。 将分母部分移至左式，
∴错误！未找到引用源。 即得证
（2）证明：设错误！未找到引用源。为数列错误！未找到引用源。 ∵错误！未找到引用源。 ,错误！未找到引用源。,由夹逼原理错误！未找到引用源。 12.略
13.反证法 设错误！未找到引用源。 ,对任意错误！未找到引用源。 ,有自然数N,当错误！未找到引用源。时,错误！未找到引用源。 .现取错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。 由上式,错误！未找到引用源。 ,
即错误！未找到引用源。 ，矛盾，故极限不存在.
习题2.4
1 假设三个数列{an}，{bn}，{cn}满足下列两个条件 证明：假设从第N0项起，三个数列的所有项满足条件（1），即 a?cn?bn （?n?n0）
n根据条件（2），可以假设
liman=limbn=a
n??n??则a-a?cn-a?bn-a （?n?N0）
n因此当n>N0时，|cn-a|?|a-a |+|bn-a|
n又lima=a,所以对任意给定的?＞０ 存在自然数N1,当ｎ＞N1时 n??n |a-a |＜
n?2又因为lima=ｂ，所以存在自然数N2 ，当ｎ＞N2时 n??n|bn-a|＜
现在取Ｎ=ｍａｘ｛N0，N1，N2｝，那么当n>Ｎ时，上面三个不等式同时成立，所以 |cn-a|
limcn=a
n???2证毕。 ２证明
假设{an}是单调增，有上界的数列。设Ｌ{an}是的最小上界，下面证明
lima=Ｌ n??n?
?＞０ Ｌ－?<Ｌ
所以不再是数列的上界。
所以必有某一项aN>Ｌ－?.则根据数列的单调性 Ｌ－?
由此可见，当ｎ＞Ｎ时，|a-Ｌ |
在cn的ｎ个加数中最大加数是
n1＜ n2?1n1 现在取an＝０，bn＝，
n1因此 n2?1 ０?cn?则a?cn?bn（?n?１）
nliman=limbn=０
n??n??所以根据夹逼原理，limc=０. n??n４证明：
任取?＞０，考察am，an的差（不妨设ｍ＞ｎ）； ｜am－an｜＝｜
sinmsin(n?1)sin(n?2)＋＋．．．＋｜
m2(n?1)2(n?2)2111＋＋．．．＋ 222m(n?1)(n?2) ? ?111＋＋．．．＋ n(n?1)(n?1)(n?2)(m?1)m1n111）＋．．．．＋（－） n?1m?1m ＝（－ ＜
1n现在令＜?，得到ｎ＞，根据以上分析可发现，只要取Ｎ>[]+１
那么当ｍ，ｎ＞Ｎ时｜am－an｜
liman存在
n??1n1?1?５
６证明：用反证法，如果数列｛an｝是收敛的，那么根据柯西收敛准则对任意给定的
?>０，存在自然数Ｎ，当ｍ，ｎ＞Ｎ时，｜am－an｜
现在取ｎ＞Ｎ,再取ｍ＝２ｎ，那么
a2n－an＝
111n＋＋．．．＋>＝０.５ n?1n?22n2n由此推出：０.５<任意正数?，这是不可能的，证毕。