5.证明 ：x?0时y?1； 0?x?1时 1?y?2； x?1时 0?y?1；
x?0时 则有：当?1?x?0时0?y?1 x?1时?1?y?0
1?x3y?(???x??)4?1?y?21?x综上可知 ： 即证得：函数是有界的。
6.证明 ：当0?x?1时
?lim?x?0x?0?limx?0
1???x ?f(x)无界
11?2k??xn(2k?)2f(x)?(2k?)2x7.证明 ：取 则
limf(x)?lim(2k?)2???n??n??
?函数
f(x)?11cosxx(0?x?1)是无界的。
8.证明 ： 充分性
由不等式可知 ：?M?f(x)?M 所以 函数f(x)有上界M和下界M 即 函数f(x) 是有界的 必要性
?f(x)有界，设其上限为?，下限为? 则 ??f(x)?? ?|f(x)|?|?|?|?|
令M?|?|?|?| 则f(x)?|M| 9.证明 ：令f(x0)?supf(x) (x?D)
?对于任意x都有f(x)?g(x) ?f(x0)?g(x0) ?g(x0)?supg(x)(x?D)
g(x)(x?D) ?supf(x)?sup 同理可证 ：inff(x)?infg(x)(x?D)
习题3.3
1.解 ：
?limn??x?xn0
?lim(xn?x0)?0n??
即得 ：n??(?)limexnx0?1 由极限的线性性质可得：
(?)(?)limexn?limex0?exnx0?ex0?limexnx0?ex0n??n??n??
x?lime?ex0 x?x0
2.解 ：
?limn??x?xn?lim0
n??xxn0?1
limln 即得 ：
n??xxn0?0 有极限的线性性质可得：
limn??(lnn??xn?limx?lnx)?lnxxn000
?limln x?x0x?lnx0
3.解 ：由极限运算性质和对数运算性质关系可得 ：
?limlnn??x?lnxn0
??ln?ln?limxn?limexn?ex0?ex0n??n??limx?x0 即得 ：x?x0
??4.解 ：根据和差化积公式可得 ： |
sinxn?sinx0n??n|=2|
0??cosxn2x0?sinxn2x0|
??2|sinxn2x0|?xn?x0
0?xxlim? 由夹逼原理可得 ：
limsinx?sinxn??n
limsinx 即得 ：?x0x?sinx0
5.解 ：由正切的加法定理可得：
?x0xnnarctxann?arctxa0n?arct1a?x?xn0
?n??（ 由三角不等式可知??tan? ?arcta?xxn?x0|nx0?|arctxann?arctxa0n|?arct|an|?|1?x?x1?x?xn0n0
???(0?)2）
?xxlim?n??n0 由夹逼原理可得 ：
limarctanx?arctanxn??n00
limarctanx 即得 ：?x0x?arctanx
6.证明 ：任取??0对于不等式：
|5x?10|?5|x?4|?5|x?4|2?2
令5|x-4|?? 即|x-4|??
取
??
?5 当0?|x?4|??时得|5x?10|??
lim5x?10即得 :x?4
7.证明 ： 设|x?2|?1 任取??0则有
2(x?2)1111x?22|x?2|?|?2|?|?||??|x?2|2x?42x?242x?2|4?(x?2)|
| 令|x?2|?? 取??min(?,1) 当0?|x?2|??时 有 ：
|2(x?2)1 x2?4?2|?? 即得 ：xlim2(x?2)1?2x2?4?2 8.任取??0对于不等式：
|x?a|?|x?a|x?x?a|?a|a
令|x?a|?? 则 ：|x?a|??
?xlim?ax?a
习题 3.4 1.存在 极限都为e 2.a=e 3.a=1 4.a=1
5.(1)左极限= -1 (2)右极限= 1
(3)在x=0处极限不存在
习题3.5
9.（1）任取??0,根据三角不等式
|2sinx?1?0|?2sin|x?1|?2|x?1|
|x|?2?,令2|x?1|??,即
只要取
??2?,那么当|x|??|2sinx?1?0|??
时，
因此x??lim2sinx?1?0
|xsinx?1?0|?xsin|x?1|?1x
9.任取??0，根据三角不等式
111??x?2??2?那么当x??时 令x，即?只要取
|xsinx?0|??因此x???1limxsinx?1?0
，那么对于每个发散与+?的数
limxn???'''2.（1）证明：反证法假设n??列{xn}都应有n??n???limsinx?A'limsinxn?A。现取xn?n?，那么n???2，那么n???，并且
limxn?0'，另取
xn?2?x?''?limxn???''且n???limxn?1结果自相矛
盾,因此极限不存在。 (2)与（1）类似。 （3）证明：
在数轴上任取一点x0，已知T为f(x)的周期。?f(x0)?f(x0?nT)，
?limf(x)?0?limf(x0?nT)?f(x0)?0?xn???(x?nT)???0当，又x??，n??。0lim?f(x)?0?为数轴上任意一点证得若x??那么函数f(x)?0。
（4）解： 由题意得
y?f(x)?b2x?a2a，
b2x?a2f(x)bk?lim?lima??x???xa 下面考虑两个极限x???xb?lim[f(x)?kx]?lim[x???x???b2bbx?a2?x]?lim(x2?a2?x)?0aaax???
y?bxa，由对称性可知在x??时，双
双曲线在第二象限的渐近线为