222，或t?，?tmin????t2?4(1?2t2)?0，解得t??（舍去）
33 3x2y236、已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，右准线方程为x?。
ab3（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线x?y?m?0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2?y2?5上，求m的值.
【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
?a23???3，解得a?1,c?3， 解（Ⅰ）由题意，得?c?c?3??ay2?1. ∴b?c?a?2，∴所求双曲线C的方程为x?22222（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?，线段AB的中点为M?x0,y0?，
?2y2?1?x?22 由?得x?2mx?m?2?0（判别式??0）, 2?x?y?m?0?∴x0?x1?x2?m,y0?x0?m?2m, 2∵点M?x0,y0?在圆x2?y2?5上，
2∴m??2m??5，∴m??1.
2x2y237、已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为3，右准线方程为x?
ab3（Ⅰ）求双曲线C的方程；
22l与双曲线C交于不同的两点A,B，（Ⅱ）设直线l是圆O:x?y?2上动点P(x0,y0)(x0y0?0)处的切线，
证明?AOB的大小为定值.
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
?a23???3，解得a?1,c?3， （Ⅰ）由题意，得?c?c?3??ay2?1. ∴b?c?a?2，∴所求双曲线C的方程为x?22222（Ⅱ）点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x2?y2?2上， 圆在点P?x0,y0?处的切线方程为y?y0??化简得x0x?y0y?2.
x0?x?x0?， y0?2y2?1?x?2222?4?x2?4x0x?8?2x0?0， 由?及x0?y0?2得?3x02?xx?yy?20?02∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0?x0?2， 2222?43x0?48?2x0?0， ∴3x0?4?0，且??16x0????设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?，
24x08?2x0则x1?x2?2， ,x1x2?23x0?43x0?4????????OA?OB∵cos?AOB?????????，且
OA?OB????????1OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?2?2?x0x1??2?x0x2?，
y0?x1x2?12?4?2x0?x1?x2??x0x1x2?2?? 2?x02222?x08?2x0??8?2x08x01??4?2? ?2??223x0?42?x03x?43x?4??00??228?2x08?2x0??2?2?0.
3x0?43x0?4?∴ ?AOB的大小为90.
【解法2】（Ⅰ）同解法1.
（Ⅱ）点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x?y?2上，
22圆在点P?x0,y0?处的切线方程为y?y0??x0?x?x0?， y0?2y2?1?x?22化简得x0x?y0y?2.由?及x0?y0?2得 2?xx?yy?20?0?3x20202?4?x2?4x0x?8?2x0?0 ① 2?4?y2?8y0x?8?2x0?0 ②
?3x2∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0?x0?2， 2∴3x0?4?0，设A、B两点的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?， 228?2x02x0?8则x1x2?2， ,y1y2?23x0?43x0?4?????????∴OA?OB?x1x2?y1y2?0，∴ ?AOB的大小为90.
22222（∵x0?2,0?y0?2，从而当3x0?4?0时，方程①和方程②的判别式均?y0?2且x0y0?0，∴0?x0大于零）.
x2y28、设椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2，2） ，N (6,1)两点，O为坐标原点，
ab（I）求椭圆E的方程；
????????（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB？若存在，
写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
x2y2【解析】（1）因为椭圆E: 2?2?1（a,b>0）过M（2，2） ，N (6,1)两点,
ab2?4?11??1????a2?8x2y2?a2b2?a28??1 所以?解得?所以?2椭圆E的方程为
6184?b?4???1?1?1???a2b2?b24????????（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB,设该圆的
?y?kx?m?切线方程为y?kx?m解方程组?x2y2得x2?2(kx?m)2?8,即(1?2k2)x2?4kmx?2m2?8?0,
?1??4?8则△=16k2m2?4(1?2k2)(2m2?8)?8(8k2?m2?4)?0,即8k?m?4?0
224km?x?x??12??1?2k2?2?xx?2m?8?121?2k2?k2(2m2?8)4k2m2m2?8k22y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m???m?221?2k1?2k1?2k222,
要使
????????2m2?8m2?8k23m2?8222??0,所以3m?8k?8?0,所以k??0O?A,需使Ox1x2?y1y2?0,即
1?2k21?2k28?m2?2826262又8k?m?4?0,所以?2,所以m?,即m?或m??,因为直线y?kx?m为圆心在
3333m?8?22m2m2826??原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r?,r?,,所求的圆为r?2223m?81?k331?k1?8m2x2?y2?82626,此时圆的切线y?kx?m都满足m?或m??,而当切线的斜率不存在时切线为333????????x2y22626262626??1的两个交点为(,?)或(?,?)满足OA?OB,综上, 存在与椭圆x??8433333????????822圆心在原点的圆x?y?，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA?OB.
34km?x?x??12??1?2k2因为?, 2?xx?2m?812?1?2k2?4km22m2?88(8k2?m2?4)所以(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?, )?4??22221?2k1?2k(1?2k)22|AB|?(x1?x2)??y1?y2?228(8k2?m2?4) ?(1?k)(x1?x2)?(1?k)(1?2k2)2222324k4?5k2?132k2??4?[1?4], 2234k?4k?134k?4k?1①当k?0时|AB|?321[1?] 1324k?2?4k因为4k?21?4?8所以0?k211?, 14k2?2?48k所以
32321?[1?]?12,
1334k2?2?4k426?|AB|?23当且仅当k??时取”=”. 32所以② 当k?0时,|AB|?46. 326262626,?)或(?,?), 3333③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为(所以此时|AB|?46, 3446?|AB|?23即: |AB|?[6,23] 33综上, |AB |的取值范围为【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.
9、在平面直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上。 （1）求抛物线C的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；
（3）设过点M(m,0)(m?0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式。