即(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0 整理得:x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0 故线段AB是圆C的直径
????????????????????????2????????2证明2: ?OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)?(OA?OB)
????2????????????2????2????????????2OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB
????????整理得: OA?OB?0?x1?x2?y1?y2?0……..(1)
设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则 即
y?y2y?y1???1(x?x1,x?x2) x?x2x?x1去分母得: (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0
点(x1,y1),(x1,y2),(x2,y1)(x2,y2)满足上方程,展开并将(1)代入得:
x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0
故线段AB是圆C的直径
????????????????????????2????????2证明3: ?OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)?(OA?OB)
????2????????????2????2????????????2OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB
????????整理得: OA?OB?0?x1?x2?y1?y2?0……(1)
以线段AB为直径的圆的方程为
(x?x1?x22y?y221)?(y?1)?[(x1?x2)2?(y1?y2)2] 224展开并将(1)代入得:x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0 故线段AB是圆C的直径
x1?x2?x???2(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则?
?y?y1?y2??2y12y22 ?y?2px1,y2?2px2(p?0)?x1x2?4p2212y12y22又因x1?x2?y1?y2?0?x1?x2??y1?y2??y1?y2? 24p?x1?x2?0,?y1?y2?0?y1?y2??4p2
x?x1?x2yy111?(y12?y22)?(y12?y22?2y1y2)?12?(y2?2p2) 24p4p4pp所以圆心的轨迹方程为y2?px?2p2 设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
12(y?2p2)?2y||x?2y||y2?2py?2p2||(y?p)2?p2|pd??? ?555p5p|当y=p时,d有最小值pp25,由题设得 ?p?2. ?555x1?x2?x???2解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则?
y?y2?y?1??2y12y22 ?y?2px1,y2?2px2(p?0)?x1x2?4p2212y12y22又因x1?x2?y1?y2?0?x1?x2??y1?y2??y1?y2? 24p?x1?x2?0,?y1?y2?0?y1?y2??4p2
x?x1?x2yy111?(y12?y22)?(y12?y22?2y1y2)?12?(y2?2p2) 24p4p4pp22所以圆心的轨迹方程为y?px?2p
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为2225,则m??2 522因为x-2y+2=0与y?px?2p无公共点,所以当x-2y-2=0与y?px?2p仅有一个公共点时,该点到直线
x-2y=0的距离最小值为25 5?x?2y?2?0?(2)22将(2)代入(3)得y?2py?2p?2p?0 ?22?y?px?2p?(3)???4p2?4(2p2?2p)?0
?p?0
?p?2.x1?x2?x???2解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则?
y?y2?y?1??2x1?x2?(y1?y2)|2圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则d?
5|y12y22 ?y?2px1,y2?2px2(p?0)?x1x2?4p2212y12y22又因x1?x2?y1?y2?0?x1?x2??y1?y2??y1?y2? 24p?x1?x2?0,?y1?y2?0?y1?y2??4p2
12(y1?y22)?(y1?y2)||y12?y22?2y1y2?4p(y1?y2)?8p2|(y1?y2?2p)2?4p24p?d?? ?545p45p|当y1?y2?2p时,d有最小值pp25,由题设得 ?p?2. ?555【点评】本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运
用解析几何知识解决问题的能力.
x2y2??1有相同的焦点，直线y=3x为C的一条渐15、双曲线C与椭圆84近线.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点
????????????8与C的顶点不重合）.当PQ??1QA??2QB，且?1??2??时，求Q点的
3坐标.
x2y2x2y2??1 求得两焦点为(?2,0),(2,0)， 【解析】（Ⅰ）设双曲线方程为2?2?1 由椭圆
ab84?对于双曲线C:c?2，又y?3x为双曲线C的一条渐近线 ?b?3 解得 a2?1,b2?3， a2y2?1 ?双曲线C的方程为x?3（Ⅱ）解法一：
由题意知直线l的斜率k存在且不等于零。
设l的方程：y?kx?4,A(x1,y1)，B(x2,y2)则Q(?????????44?PQ??1QA?(?,?4)??1(x1?,y1)
kk4,0) k44?x???41?4?k?1k????1(x1?)? ??kk??4??y????4??1y11??1??A(x1,y1)在双曲线C上，??16?32?1?16?12?161??1216()??1?0 k2?1?1162k?k2?2?0. 316?(16?k2)?12?32?1?16?k2?0.
316222k?0. 同理有：(16?k)?2?32?2?16?3若16?k?0,则直线l过顶点，不合题意.?16?k?0,
22??1,?2是二次方程(16?k2)x2?32x?16???1??2?328???k2?4， 2k?163162k?0.的两根. 3此时??0,?k??2.?所求Q的坐标为(?2,0). 解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零 设l的方程，y?kx?4,A(x1,y1),B(x2,y2)，则Q(??????????????PQ??1QA，?Q分PA的比为?1.
由定比分点坐标公式得
4,0). k4?4?1x1???x??(1??1)?k1???1k?1??1 ???4?0?4??1y1?y1?????11??1??下同解法一
解法三：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零 设l的方程：y?kx?4,A(x1,y1),B(x2,y2)，则Q(?????????????444?PQ??1QA??2QB，?(?,?4)??1(x1?,y1)??2(x2?,y2).
kkk4,0). k??4??1y1??2y2，??1??44，?2??， y1y2又?1??2??8112，???，即3(y1?y2)?2y1y2 3y1y232y2?1得(3?k2)y2?24y?48?3k2?0 将y?kx?4代入x?32448?3k2,y1y2??3?k?0，否则l与渐近线平行。?y1?y2?。 3?k23?k222448?3k2?k??2?Q(?2,0) ?3??2?223?k3?k),解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设l的方程：则Q(?0y?kx?4，A(x1,y1),B(x2,y2)，
4k
4????????444 ?PQ??1QA,?(?,?4)??1(x1?,y1)。??1?k??4kkkx1?4x1?k?同理
?1??4
kx2?4?1??2??448???.
kx1?4kx2?43
（*）
即 2k2x1x2?5k(x1?x2)?8?0。
y?kx?4又
y2x??132