10、已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，
a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
x2y211、双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点A在双曲线的右支上，
ab点B在双曲线左准线上，
F2O?AB,OF2?OA?OA?OB.
（1）求双曲线的离心率e； （2）若此双曲线过C（2，3），求双曲线的方程；
（3）在（2）的条件下，D1、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在y轴正半轴上），过D1的直线l交双曲
线M、N，D2M?D2N,求直线l的方程。 【解析】（1）F2O?AB,?四边形F2 ABO是平行四边形
OA(OF2?OB)?0,即OA?BF2?0 ?OA?BF2,
∴四边形F2 ABO是菱形. ∴|AB|?|F2A|?|F2O|?c. 由双曲线定义得|AF1|?2a?c,e?|AF1||AB|?2a?c2??1, ce?e2?e?2?0,
?e?2(e??1舍去)
x2y2c22?1, （2）e?2?, ?c?2a,b?3a，双曲线方程为2?aa3a2把点C(2,3)代入有
432??1.?a?3, 22a3ax3y2??1. ∴双曲线方程39（3）D1（0，－3），D2（0，3），设l的方程为y?kx?3,M(x1,y1),N(x2,y2)
?y?kx?3?则由?x2?(3?k2)x2?6kx?18?0 y2?1??9?3因l与与双曲线有两个交点，
?k??3.
?x1?x2??6k?18,x?x? 123?k23?k2?18?y1?y2?k(x1?x2)?6?,y1?y2?k2x1x2?3k(x1?x2)?9?9 23?k?D2M?(x1,y1?3),D2N?(x2,y2?3),D2M?D2N, ?x1?x2?y1?y2?3(y1?y1)?9?0
??18?18?9?3?9?0.即k2?5, 223?k3?k?k??5.故所求直线l方程为y?5x?3或y??5x?3
12、已知?ABC的顶点A、B在椭圆x2?3y2?4上,点C在直线l:y?x?2上,且AB//l. （1）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及?ABC的面积；
（2）当?ABC?90?，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程。
【解析】（1）因为AB//l,且AB通过原点（0，0），所以AB所在直线的方程为y?x.
?x2?3y2?4由?得A、B两点坐标分别是A（1，1），B（-1，-1）。
y?x??|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2?22 ……………..2分
l的距离。 又?AB边上的高h等于原点到直线?h?2,S?ABC?1|AB|?h?2. …………….. 4分 2 （2）设AB所在直线的方程为y?x?m
?x2?3y2?4由?得4x2?6mx?3m2?4?0. ?y?x?m因为A，B两点在椭圆上，所以
???12m2?64?0,
即?
4343?m?. ……………..5分 33设A，B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则
3m3m2?4x1?x2??,x1x2?,
24且y1?x1?m,y2?x2?m. …………….. 6分
?|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2?2(x1?x2)2
9232?6m22 ……………..8分 ?2[(x1?x2)?4x1x2]?2(m?3m?4)?422又?BC的长等于点(0,m)到直线l的距离， 即|BC|?
|2?m|2. ……………..10分
?|AC|2?|AB|2?|BC|2??m2?2m?10?11?(m?1)2.
（显然??当m??1时,AC边最长。
4343） ??1?33
所以AB所在直线的方程为y?x?1 ……………..12分
13、已知离心率为
4的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线 5以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234。
（I）求椭圆及双曲线的方程； （Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在第二象限内取双曲线
上一点P，连结BP交椭圆于点M，连结PA并延长交椭圆于点N，若BM?MP。求四边形ANBM的面积。
?????????x2y2【解析】（I）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0) 则根据题意，双曲线的方程为
abx2y2 2?2?1且满足
ab?a2?b242??,??a?25 ? 解方程组得?2 ……………………4分 a5??b?9?22?a2?b?234,x2y2x2y2 ?椭圆的方程为??1，双曲线的方程??1 ………………6分
259259（Ⅱ）由（I）得A(?5,0),B(5,0),|AB|?10,
设M(xo,yo),则由BM?MP得M为BP的中点，所以P点坐标为
?????????(2xo?5,2yo)，
22?xoyo??1,??259 将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程，得?22?(2xo?5)?4y0?1?259?消去yo，得2xo?5xo?25?0 解之得xo??所以yo?25或xo?5（舍） 233533，由此可得M(?,), 222所以P(?10,33). …………………………10分
当P为(?10,33)时，直线PA的方程是y?33(x?5)
?10?5x2y233即:y???1，得2x2?15x?25?0 (x?5)，代入?25955或-5（舍） ……………………………12分 25所以xN??,xN?xM,MN?x轴。
2所以x??所以
SAMBN?2S?AMB?2?10?331??15322 ……………………14分
214、已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2?0)是抛物线y?2px(p?0)上的两个动点,O是坐标原点,向量
????????????????????????OA,OB满足OA?OB?OA?OB.设圆C的方程为x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0
(I) 证明线段AB是圆C的直径;
(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。
????????????????????????2????????2【解析】(I)证明1: ?OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)?(OA?OB)
????2????????????2????2????????????2OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB
????????整理得: OA?OB?0?x1?x2?y1?y2?0
????????设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则MA?MB?0