线性代数习题及答案(复旦版)[]
线性代数习题及答案 习题一
1. 求下列各排列的逆序数.
(1) 341782659； (2) 987654321；
(3) n(n?1)…321； (4) 13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2. 【解】
(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;
(3) τ(n(n?1)…32221)= 0+1+2 +…+(n?1)=;
(4) τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案.
4. 本行列式的展开式中包含和的项.
解： 设 ，其中分别为不同列中对应元素的行下标，则展开式中含项有
展开式中含项有 .
5. 用定义计算下列各行列式. (1)； (2).
【解】(1) D=(?1)τ(2314)4!=24; (2) D=12. 6. 计算下列各行列式. (1)； (2) ； (3)； (4) . 【解】(1) ; (2) ;
7. 证明下列各式. (1) ； (2) ； (3) (4) ； (5) .
【证明】(1) (2)
(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:
从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为
但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故
(4) 对D2n按第一行展开，得
据此递推下去，可得
(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.
当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n?1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.
按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：
但由归纳假设
从而有
8. 计算下列n阶行列式. (1) (2) ； (3). (4)其中 ； (5).
【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n?1),得
将第一行乘（?1）后分别加到其余各行，得
(2) 按第二行展开
(3) 行列式按第一列展开后，得
(4)由题意，知 . (5)
.
即有 由 得 .
9. 计算n阶行列式.
【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得
将第一行乘（?1）后加到其余各行，得
10. 计算阶行列式（其中）. .
【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.
11. 已知4阶行列式 ;
试求与，其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式. 【解】
同理
12. 用克莱姆法则解方程组. (1) (2)
【解】方程组的系数行列式为
故原方程组有惟一解，为
13. λ和μ为何值时，齐次方程组
有非零解?
【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式 即
故或时，方程组有非零解. 14. 问：齐次线性方程组
有非零解时，a,b必须满足什么条件？ 【解】该齐次线性方程组有非零解
，a,b需满足
即(a+1)2=4b.
15. 求三次多项式，使得
【解】根据题意，得
这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于 故得
于是所求的多项式为
16. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为 ax+by+c=0 (a,b不同时为0) 按题设有
则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为
上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件. 习题 二
1. 计算下列矩阵的乘积. （1）； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） . 【解】
(1) (2); (3) (10); (4)
(5); (6) . 2. 设，，
求(1);(2) ；(3) 吗?
【解】(1) (2)
(3) 由于AB≠BA,故(A+B)(A?B)≠A2?B2. 3. 举例说明下列命题是错误的.
(1) 若， 则； (2) 若， 则或； (3) 若，， 则. 【解】
(1) 以三阶矩阵为例，取,但A≠0 (2) 令,则A2=A,但A≠0且A≠E (3) 令
则AX=AY,但X≠Y.
4. 设, 求A2，A3，…，Ak. 【解】
5. ， 求并证明： .
【解】 今归纳假设 那么
所以，对于一切自然数k,都有
6. 已知，其中
求及.
【解】因为|P|= ?1≠0,故由AP=PB,得 而
7. 设，求||.
解：由已知条件，的伴随矩阵为
又因为，所以有 ，且，
即
于是有 . 8. 已知线性变换
利用矩阵乘法求从到的线性变换. 【解】已知
从而由到的线性变换为
9. 设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵. 【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A,
所以 (B′AB)′=B′A′B=B′AB, 故也为对称阵.
10. 设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA. 【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB. 则 AB=(AB)′=B′A′=BA, 反之，因AB=BA,则 (AB)′=B′A′=BA=AB, 所以，AB为对称阵.
11. A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明： (1) B2是对称矩阵.
(2) AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵. 【证明】
因A′=A,B′= ?B,故
(B2)′=B′2B′= ?B2(?B)=B2;
(AB?BA)′=(AB)′?(BA)′=B′A′?A′B′
= ?BA?A2(?B)=AB?BA; (AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′
= ?BA+A2(?B)= ?(AB+BA). 所以B2是对称矩阵，AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵. 12. 求与A=可交换的全体二阶矩阵. 【解】设与A可交换的方阵为,则由 =, 得