15. 略.见教材习题参考答案.
16. 设向量组与秩相同且能经线性表出.证明与等价. 【解】设向量组 (1)
与向量组 (2)
的极大线性无关组分别为 (3) 和 (4)
由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即
因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|≠0，可由（*）解出,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.
17. 设A为m3n矩阵，B为s3n矩阵.证明： .
【证明】因A,B的列数相同，故A,B的行向量有相同的维数，矩阵可视为由矩阵A扩充行向量而成，故A中任一行向量均可由中的行向量线性表示，故 同理 故有
又设R(A)=r,是A的行向量组的极大线性无关组,R（B）=k, 是B的行向量组的极大线性无关组.设是中的任一行向量，则若属于A的行向量组，则可由表示，若属于B的行向量组，则它可由线性表示，故中任一行向量均可由,线性表示，故
所以有 .
18. 设A为s3n矩阵且A的行向量组线性无关，K为r3s矩阵.证明：B＝KA行无关的充分必要条件是R(K)=r. 【证明】设
A=(As,Ps3(n?s)),
因为A为行无关的s3n矩阵，故s阶方阵As可逆. ()当B=KA行无关时，B为r3n矩阵. r=R(B)=R(KA)≤R(K),
又K为r3s矩阵R(K)≤r,∴ R(K)=r. ()当r=R(K)时，即K行无关，
由B=KA=K(As,Ps3(n?s))=(KAs,KPs3(n?s)) 知R(B)=r,即B行无关.
19. 略.见教材习题参考答案.
20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组. (1)； (2).
【解】(1) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为; (2) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为. 21. 略.见教材习题参考答案.
22. 集合V1＝{()｜∈R且＝0}是否构成向量空间?为什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，设)则 因为
所以,故是向量空间.
23. 试证：由,生成的向量空间恰为R3. 【证明】把排成矩阵A=(),则 ,
所以线性无关，故是R3的一个基，因而生成的向量空间恰为R3. 24. 求由向量所生的向量空间的一组基及其维数. 【解】因为矩阵
∴是一组基，其维数是3维的. 25. 设,证明: .
【解】因为矩阵
由此知向量组与向量组的秩都是2，并且向量组可由向量组线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而也可由线性表出.所以 .
26. 在R3中求一个向量，使它在下面两个基 下
有相同的坐标. 【解】设在两组基下的坐标均为()，即 即
求该齐次线性方程组得通解 (k为任意实数) 故
27. 验证为R3的一个基，并把 用这个基线性表示. 【解】设
又设 , 即
记作 B=AX. 则
因有,故为R3的一个基，且 即 .
习题四
1. 用消元法解下列方程组. (1) (2) 【解】(1) 得 所以 (2) ① ② ③
解②?①32得 x2?2x3=0 ③?① 得 2x3=4 得同解方程组 ④ ⑤ ⑥
由⑥得 x3=2, 由⑤得 x2=2x3=4,
由④得 x1=2?2x3 ?2x2 = ?10, 得 (x1,x2,x3)T=(?10,4,2)T. 2. 求下列齐次线性方程组的基础解系. (1) (2) (3) (4) 【解】(1)
得同解方程组
得基础解系为 .
(2) 系数矩阵为
∴ 其基础解系含有个解向量.
基础解系为 (3)
得同解方程组
取得基础解系为
(?2，0，1，0，0)T,(?1，?1，0，1，0). (4) 方程的系数矩阵为
∴ 基础解系所含解向量为n?R(A)=5?2=3个 取为自由未知量
得基础解系 3. 解下列非齐次线性方程组. (1) (2) (3) (4) 【解】
（1） 方程组的增广矩阵为
得同解方程组
(2) 方程组的增广矩阵为
得同解方程组 即
令得非齐次线性方程组的特解 xT=(0，1，0，0)T. 又分别取
得其导出组的基础解系为
∴ 方程组的解为
(3) ∴ 方程组无解.
(4) 方程组的增广矩阵为
分别令
得其导出组的解为 令,
得非齐次线性方程组的特解为：xT=(?16,23,0,0,0)T, ∴ 方程组的解为
其中为任意常数.
4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示. 车间 消耗系数 车间 1 2 3
出厂产量 （万元） 总产量 （万元） 1 0.1 0.2 0.45 22 x1 2 0.2 0.2 0.3 0 x2 3 0.5 0 0.12 55.6