x3
表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.
解：根据表中数据列方程组有
即
解之 5. 取何值时，方程组
(1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解. 【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为
|A|=.
(1) 当≠1且≠?2时，|A|≠0，R(A)=R(B)=3. ∴ 方程组有惟一解
（2） 当=?2时，
R(A)≠R(B),∴ 方程组无解. (3) 当=1时
R(A)=R(B)<3,方程组有无穷解. 得同解方程组
∴ 得通解为
6. 齐次方程组
当取何值时，才可能有非
零解?并求解. 【解】方程组的系数矩阵为 |A|=
当|A|=0即=4或=?1时，方程组有非零解. (i) 当=4时,
得同解方程组
(ii) 当=?1时,
得
∴ ()T=k2(?2,?3,1)T.k∈R
7. 当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解. （1） (2) 【解】方程组的增广矩阵为 (1)
(i) 当b≠?52时,方程组有惟一解
(ii) 当b=?52,a≠?1时，方程组无解.
(iii) 当b=?52，a=?1时，方程组有无穷解. 得同解方程组 (*)
其导出组的解为
非齐次线性方程组（*）的特解为
取x4=1, ∴ 原方程组的解为 (2)
(i) 当a?1≠0时，R(A)=R()=4,方程组有惟一解.
(ii) 当a?1=0时,b≠?1时，方程组R(A)=2<R()=3, ∴ 此时方程组无解.
(iii) 当a=1，b= ?1时，方程组有无穷解. 得同解方程组 取
∴ 得方程组的解为
8. 设，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0.
【解】设B=(b1 b2 b3),其中bi(i=1,2,3)为列向量, 由
为Ax=0的解. 求=0的解.由
得同解方程组
∴ 其解为
取 则
9.已知是三元非齐次线性方程组Ax=b的解，且R(A)=1及
求方程组Ax=b的通解.
【解】Ax=b为三元非齐次线性方程组
R(A)=1Ax=0的基础解系中含有3?R(A)=3?1=2个解向量.
由为Ax=b的解为Ax=0的解, 且线性无关为Ax=0的基础解系. 又
∴ 方程组Ax=b的解为
10. 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成. (1) (2) 【解】
(1) 设齐次线性方程组为Ax=0 由为Ax=0的基础解系，可知
令 k1=x2 , k2=x3 Ax=0即为x1+2x2?3x3=0.
(2) A()=0A的行向量为方程组为的解. 即的解为
得基础解系为=(?5 ?1 1 1 0)T =(?1 ?1 1 0 1)T A= 方程为
11. 设向量组=（1，0，2，3），=（1，1，3，5），=（1，?1，a+2，1），=（1，2，4，a+8），=（1，1，b+3，5） 问：（1） a，b为何值时，不能由，，，线性表出？ （2） a，b为何值时，可由，，， 惟一地线性表出？并写出该表出式. （3） a，b为何值时，可由，，，线性表出，且该表出不惟一？并写出该表出式. 【解】 (*)
(1) 不能由，，，线性表出方程组（*）无解,即a+1=0,且b≠0.即a=?1,且b≠0. (2) 可由，，，惟一地线性表出方程组(*)有惟一解，即a+1≠0，即a≠?1. (*) 等价于方程组
(3) 可由，，，线性表出，且表出不惟一方程组（*）有无数解，即有 a+1=0,b=0a=?1,b=0. 方程组（*） 为常数. ∴
12. 证明：线性方程组有解的充要条件是. 【解】
方程组有解的充要条件，即R(A)=4=R(A) 得证.
13. 设是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明
（1）线
性无关； （2）线性无关. 【 证明】 (1) 线性无关 成立,
当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),k=0
∵为Ax=0的基础解系 由于 .
由于为线性无关
∴线性无关. (2) 证线性无关. 成立
当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),且k=0 即
由(1)可知，线性无关. 即有ki=0(i=1,2,…,n?r),且
∴线性无关.
14. 设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ) （Ⅰ） (Ⅱ)
(1) 求方程组（Ⅰ）的通解；
(2) 当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解？ 解：（1）对方程组（Ⅰ）的增广矩阵进行行初等变换
由此可知系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，故有解.由方程组 （*）
得方程组（*）的基础解系
令，得方程组（Ⅰ）的特解
于是方程组（Ⅰ）的通解为，k为任意常数。 (2) 方程组（Ⅱ）的增广矩阵为
系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，令
(**) 方程组（**）的基础解系为 当时，，当时，
方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解，则，故有
把m，n代入方程组，同时有 ，即t = 6.
也就是说当m=2，n=4，t=6时，方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解.
习题五
1. 计算. 【解】
2. 把下列向量单位化.
(1) ＝（3，0，－1，4）； (2) ＝（5，1，－2，0）. 【解】
3. 利用施密特正交化方法把下列向量组正交化. (1) 1 =(0，1，1)′, 2 =(1,1,0)′, 3 =(1,0,1)′; (2) 1 =(1,0,?1,1), 2 =(1,?1,0,1), 3 =(?1,1,1,0) 【解】
4. 试证，若n维向量与正交，则对于任意实数k，l，有k与l正交. 【证】与正交.
∴ 与正交.
5. 下列矩阵是否为正交矩阵. 【解】
(1) A′A≠E, ∴A不是正交矩阵 (2) A′A=EA为正交矩阵