其基础解系为
(ii) 当时,
其基础解系为(?1,1,2)T. 令,则
18.将下列二次型用矩阵形式表示. (1) ； (2) ； (3) . 【解】 (1) (2) (3)
19. 写出二次型 的矩阵. 【解】
20. 当t为何值时，二次型的秩为2. 【解】
21. 已知二次型经过正交变换化为标准型，求参数a,b及所用的正交变换矩阵. 【解】由题知 二次型矩阵
当时,
即有 2ab=0. 当时,
当时,
(ⅰ) 当时,
得基础解系为=(1,0,?1)T, 单位化
(ⅱ) 当时,
其基础解系为=(0,1,0)T. (iii) 当时，
其基础解系为=(1,0,1)T. 单位化得
得正交变换矩阵
22. 用配方法把下列二次型化为标准型，并求所作变换.
【解】 令 由于
∴ 上面交换为可逆变换. 得
令为可逆线性变换
令为可逆线性交换 所作线性交换为
23. 用初等变换法化下列二次型为标准型，并求所作变换.
【解】(1)
(2) 二次型矩阵为
24. 设二次型
(1) 用正交变换化二次型为标准型； (2) 设A为上述二次型的矩阵，求A5. 【解】(1) 二次型的矩阵为
求得A的特征值.
对于，求解齐次线性方程组 (A?E)x=0，得基础解系为
将正交单位化得
对于，求解方程组(A+2E)x=0, 得基础解系为将单位化得 于是
即为所求的正交变换矩阵，且 (2) 因为所以 故
25. 求正交变换，把二次曲面方程化成标准方程. 【解】的矩阵为
(1) 当时,
其基础解系为
正交化得
单位化得
(2) 当时, .
其基础解系为. 单位化得
正交变换矩阵
为所求正交变换.得
二次曲面方程的标准方程为
26. 判断下列二次型的正定性.
【解】(1) 矩阵为
∴ 二次型为负定二次型. (2) 矩阵
∴ 二次型为正定二次型. (3) 矩阵为
∴ 为正定二次型.
27. t满足什么条件时，下列二次型是正定的.
【解】(1) 二次型的矩阵为
可知时，二次型为正定二次型. (2
) 二次型的矩阵为
当t满足时，二次型为正定二次型.
28. 假设把任意x1≠0，x2≠0，…，xn≠0代入二次型都使f＞0，问f是否必然正定? 【解】错，不一定.
当为实二次型时,若≠0,
都使得f>0,则f为正定二次型.
29. 试证：如果A,B都是n阶正定矩阵，则A+B也是正定的. 【证】A,B是正定矩阵，则存在正定二次型 = xTAx = xTBx
且A′=A ， B′=B(A+B)′=(A′+B′)=A+B 有
= xT(A+B)x=xTAx+xTBx>0 ∴ A+B为正定.
30. 试证：如果A是n阶可逆矩阵，则A′A是正定矩阵. 【证】A可逆 (A′A)′= A′2(A′)′= A′A A′A = A′E A 可知A′A与E合同 A′A正定.
31. 试证：如果A正定，则A′,A－１，A*都是正定矩阵. 【证】A正交，可知A′=A ? 可逆阵C，使得A=C′EC.
(i) A=C′ECA′=(C′EC)′A′=C′E′(C′)′=C′EC ∴ A′与E合同，可知A′为正定矩阵.
(ii) (A?1)′=(A′)?1=A?1可知A?1为对称矩阵. 由A正交可知，A为点对称矩阵 其特征值设为且有>0(i=1,2,…,n) Axi=xixi=A?1xiA?1xi=xi
可知A?1的特征值为 ， (i=1,2,…,n) ∴ A?1正定.
(iii) 由A*=|A|2A?1可知
(A′)1=|A|2(A?1)′=|A|2A?1=A*
由(ii)可知A?1为正定矩阵即存在一个正定二次型 = xTA?1x 有>0
∵ A正交|A|>0
= xTA*x=xT2|A|2A?1x=|A|2(xTA?1x)
即有时， xTA?1x>0
∵ |A|>0,即有 = xTA*x >0
∴ A*为正定矩阵. 习题 六
1. 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； (2) 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： k2；
(3) 2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法；
(4) 与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法. 【解】（1）是.由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的1?8条性质，因此只需考虑反对称（上三角）矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.下面仅对反对称矩阵验证：设A，B均为2阶反对称矩阵，k为任一实数，则 (A+B)′=A′+B′=?A?B=?(A+B), (kA)′=kA′=k(?A)=?(kA),
所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间.
（2） 否.因为(k+l)2,而,所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质. （3） 否.因为零矩阵不可逆（又因为加法和数量乘法都不封闭）. （4） 否.因为加法不封闭.例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它们之和（1，0，0）+（0，1，0）=（1，1，0）不属于这个集合. 2. 设U是线性空间V的一个子空间，试证：若U与V的维数相等，则U＝Ｖ.
【证明】设U的维数为m，且是U的一个基，因UV,且V的维数也是m，自然也是V的一个基，故U=V.
3. 设是n维线性空间Vn的线性无关向量组，证明Vn中存在向量使成为Vn的一个基(对n?r用数学归纳法). 【证明】对差n?r作数学归纳法. 当n?r=0时，结论显然成立.
假定对n?r=k时，结论成立，现在考虑n?r=k+1的情形.
因为向量组还不是V的一个基，它又是线性无关的，所以在V中必存在一个向量不能由线性表出，把添加进去所得向量组 ,
必定还是线性无关的，此时n?(r+1)=(n?r)?1=(k+1)?1=k. 由归纳法假设, ,可以扩充为整个空间的一个基. 根据归纳法原理，结论普遍成立.
4. 在R４中求向量＝(0,0,0,1)在基＝(1,1,0,1),＝(2,1,3,1), ＝(1,1,0,0), ＝(0,1,－1,－1)下的坐标.
【解】设向量在基下的坐标为(),则