6. 设x为n维列向量，x′x＝1，令H＝E－２xx′.求证H是对称的正交矩阵. 【证】
∴ H为对称矩阵.
∴ H是对称正交矩阵.
7. 设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵. 【证】A与B为n阶正交矩阵A′A=EB′B=E
(AB)(AB)′=AB2(B′A′)=A(BB′)A′=AEA′=AA′=E ∴ AB也是正交矩阵.
8. 判断下列命题是否正确.
(1) 满足Ax＝x的x一定是A的特征向量；
(2) 如果x1，…，xr是矩阵A对应于特征值的特征向量.则k1x1＋k2x2＋…＋krxr也是A对应于的特征向量；
(3) 实矩阵的特征值一定是实数. 【解】
(1) ╳.Ax=x,其中当x=0时成立，但x=0不是A的特征向量. (2) ╳.例如：E333x=x特征值=1, 的特征向量有 则不是E333的特征向量.
(3) ╳.不一定.实对称矩阵的特征值一定是实数. 9. 求下列矩阵的特征值和特征向量.
【解】(1)
当时， 为得解
对应的特征向量为 .
当时,
其基础解系为,对应的特征
向量为
∴ 特征值为
(i) 当时，
其基础解系为
∴ 对应于=2的特征向量为 且使得特征向量不为0. (ii)当时,
,
解得方程组的基础解系为
∴ 对应于的特征向量为
特征值为 (i) 当时,
得基础解系为 对应的特征向量为 (ii) 当时，
其基础解系为(2,?2,1)′, 所以与对应的特征向量为 (iii) 当时，
其基础解系为(2,1,?2)′ ∴ 与对应的特征向量为
∴ A的特征值为1,2. (i) 当时,
其基础解系为(4,?1,1,0)′.
∴ 其对应的特征向量为k2(4,?1,1,0)T,k∈R且k≠0. (ii) 当时，
其基础解系为：（1,0,0,0）′. ∴ 其对应的特征向量为
10.设3阶方阵A的特征值为λ1＝1，λ2＝0，λ3＝－1，对应的特征向量依次为
求矩阵A. 【解】
由于为不同的特征值线性无关，则有 可逆
11. 设3阶实对称矩阵A的特征值为－1，1，1，与特征值－1对应的特征向量x＝（－1，1，1）′，求A.
【解】对应的特征向量为x1=(?1,1,1)T,设对应的特征向量为x2=(x1,x2,x3)T,A为实对称矩阵，所以(x1,x2)=0,即有?x1+x2+x3=0. 得方程组的基础解系为
可知为对应的特征向量.
将正交化得
=(?1,1,1)T, 单位化：; =(1,1,0)T, ; 则有
12. 若n阶方阵满足A2＝A，则称A为幂等矩阵，试证，幂等矩阵的特征值只可能是1或者是零.
【证明】设幂等矩阵的特征值为，其对应的特征向量为x.
由A2=A可知 所以有或者=1.
13. 若A2＝E，则A的特征值只可能是±1.
【证明】设是A的特征值，x是对应的特征向量. 则Ax=x A2x=(Ax)=2x 由A2=E可知 x=Ex=A2x=2x (2?1)x=0,
由于x为的特征向量，∴ x≠02?1=0=±1.
14. 设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同的特征根，1,2分别是A的属于λ1, λ2的特征向量，证明1+2不是A的特征向量.
证明：假设1+2是A的属于特征根λ的特征向量，则 A（1+2）=λ（1+2）=λ1+λ2.
又 A（1+2）= A1+ A 2=λ11+λ22 于是有 （λ?λ1）1+（λ?λ2）2 =0 由于，1与2线性无关，故λ?λ1=λ?λ2=0. 从而与矛盾，故1+2不是A的特征向量. 15. 求正交矩阵T，使T－１AT为对角矩阵.
【解】
(i)当时,
方程组的基础解系为 (?2,1,0)T, (2,0,1)T. (ii) 当时,
其基础解系为. 取,单位化为,
取，取，使正交化. 令 单位化
得.
(i) 当时,
其基础解系为
正交化得
单位化得
(ii) 当时，
其基础解系为 单位化得
(i) 当时,
其基础解系为
由于()=0,所以正交. 将它们单位化得
(ii) 当时,
其基础解系为=(1,?1,?1,1)T, 单位化得
(iii) 当时,
其基础解系为=(?1,?1,1,1)T, 单位化为
(i) 当=2时,
其基础解系为=(2,1,?2)T, 单位化得 ,
(ii) 当=5时,
=(2,1,2)T. 其基础解系为=(2,?2,1)T
. 单位化得 .
(iii) 当=?1时, ,
其基础解系为=(1,2,2)T, 单位化得 ,
得正交阵
16. 设矩阵与相似. (1) 求x与y；
(2) 求可逆矩阵P，使P－1AP=B.
【解】(1)由A~B可知，A有特征值为?1,2,y.
由于?1为A的特征值，可知 .
将x=0代入|A?E|中可得
可知y= ?2. (2) (i) 当=?1时,
其基础解系为 =(0,?2,1)T, = ?1对应的特征向量为 =(0,?2,1)T. (ii) 当=2时,
其基础解系为 =(0,1,1)T 所以=2对应的特征向量为 =(0,1,1)T (ⅲ) 当=?2时, ,
其基础解系为 =(?2,1,1)T, 取可逆矩阵 则
17. 设， 求A100. 【解】
特征值为 (i) 当时,