即为
解之得()=(1,0,?1,0). 5. 在R３中，取两个基
＝(1，2，1)，＝(2，3，3)，＝(3，7，1)； ＝(3，1，4)，＝(5，2，1)，＝(1，1，－6)， 试求到的过渡矩阵与坐标变换公式.
【解】取R３中一个基（通常称之为标准基） =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1). 于是有
所以由基到基的过渡矩阵为
坐标变换公式为
其中()与（）为同一向量分别在基与下的坐标. 6. 在R4中取两个基
(1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵； (2) 求向量()在后一个基下的坐标； (3) 求在两个基下有相同坐标的向量. 【解】(1)
这里A就是由基到基的过渡矩阵. (2) 设,由于()=()A?1,所以
因此向量在基下的坐标为
(3) 设向量在这两个基下有相同的坐标,那么 即 也就是
解得,其中为任一非零实数.
7. 证明3阶对称矩阵的全体S构成线性空间，且S的维数为6. 【证明】首先，S是非空的（∵0∈S）,并且A,B∈S,k∈R,有 (A+B)′=A′+B′=A+B (kA)′=kA′=kA.
这表明S对于矩阵的加法和数量乘法是封闭的.其次，这两种矩阵运算满足线性空间定义中的18条性质.故S是线性空间. 不难验证，下列6个对称矩阵.
构成S的一个基，故S的维数为6. 8. 说明平面上变换的几何意义，其中
(1)； (2) ； (3) ； (4) .
【解】,T把平面上任一点变到它关于y轴对称的点. ,T把平面上任一点变到它在y轴的投影点.
,T把平面上任一点变到它关于直线x=y对称的点.
,T把平面上任一点变到它绕原点按顺时针方向旋转90°后所对应的点. 9. 设V是n阶对称矩阵的全体构成的线性空间［维数为］，给定n阶方阵P，变换 T(A)＝P′AP， ?A∈Ｖ
称为合同变换，试证合同变换T是V中的线性变换. 【证明】因为A,B∈V,k∈R,有
T(A+B)=P′(A+B)P=P′AP+P′BP=T(A)+T(B), T(kA)=P′(kA)P=k(P′AP)=kT(A).
所以T是线性空间V的一个线性变换. 10. 函数集合
V3＝｛＝(a2x2+a1x+a0)ex｜a2，a
1,a0∈R｝
对于函数的加法与数乘构成3维线性空间，在其中取一个基 1＝x2ex, 2＝2xex, 3＝3ex， 求微分运算D在这个基下的矩阵. 【解】 即
因此D在基下的矩阵为. 11. 2阶对称矩阵的全体
对于矩阵的加法与数乘构成3维线性空间，在Vn中取一个基
(1) 在V3中定义合同变换
求在基下的矩阵及T的秩与零度. (2) 在V3中定义线性变换
求T在基下的矩阵及T的像空间与T的核. 【解】(1)
由此知，T在基下的矩阵为
显然M的秩为3，故这线性变换T的秩为3，零度为0. (2)
即 T()=()M,
其中就是T在基下的矩阵.显然有 所以
T(V3)=L(T(A1))=L(A1+A2+A3).
最后求出T?1(0).设A=x1A1+x2A2+x3A3∈T ?1(0),那么T(A)=0，即
也就是()MX=0,它等价于齐次方程组MX=0，解之得基础解系 (2,?1,0), (1,0,?1).
故T ?1(0)=L(2A1?A2,A1?A3).
习题 七
1. 求下列矩阵的Smith标准型.
【解】(1)对矩阵作初等变换，得
即为所求.
(2) 对矩阵作初等变换得
即为所求.
(3) 不难看出，原矩阵的行列式因子为
所以不变因子为
故所求的Smith标准形是 (4) 对矩阵作初等变换，得
即为所求.
2. 求下列矩阵的不变因子.
【解】(1) 显然，原矩阵中左下角的二阶子式为1，所以 D1=1, D2=1, D3=(2)3. 故所求的不变因子为 d1=1, d2=1, d3=(2)3. (2) 当b≠0时，
且在矩阵中右上角的三阶子式
而,所以D3=1.故所求的不变因子为 d1=d2=d3=1, d4= [(+a)2+b2]2. 3. 证明
的不变因子为
d1(λ)=…=dn-1(λ)=1,dn(λ)=λn+a1λn?1+…+an-1λ+an.
【证明】由于该矩阵中右上角的n-1阶子式等于非零常数(-1)n-1,所以 D1()=D2()=…=Dn-1()=1. 而该矩阵的行列式为
Dn()=n+a1n-1+…+an-1+an, 故所给矩阵的全部不变因子为
d1()=…=dn-1()=1, dn()=n+a1n-1+…+an-1+an.
4. 证明（a为任一非零实数）相似. 【证明】 记
经计算得知，E-A与E-B的行列式因子均为D1=D2=1,D3=(-0)3,所以它们的不变因子也相同，即为d1=d2=1,d3=(-0)3,故A与B相似. 5. 求下列复矩阵的若当标准型.
【解】设原矩阵为A.对A的特征矩阵作初等变换，得
于是A的全部初等因子为.故A的若当标准形是
(2) 设原矩阵为A.对A的特征矩阵作初等变换，得
所以A的全部初等因子为.故A的若当标准形是