大学物理习题及解答
习题八
8-1 电量都是的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?? 解: 如题8-1图示 (1) 以
qA处点电荷为研究对象，由力平衡知：q?为负电荷
1q212cos30??4π?0a24π?0q???解得
(2)与三角形边长无关．
qq?(32a)3
3q3
题8-1图 题8-2图
8-2 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2?,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量．? 解: 如题8-2图示
Tcos??mg??q2?Tsin??F?1e?4π?0(2lsin?)2? 解得
q?2lsin?4??0mgtan?E?q
24??0r8-3 根据点电荷场强公式
有物理意义的，对此应如何理解??
?E?q4π?0r2?r0，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强→∞，这是没
解: 仅对点电荷成立，当r?0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大． 8-4 在真空中有
A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+
q和-q．则这两板之
q2间有相互作用力
f，有人说
f24??d0=
,又有人说，因为
qE??0Sf=qE,
，所以
q2f=?0S．试问
这两种说法对吗?为什么? 到底应等于多少??
解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强
fE?q?0S看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为
E?q2?0S，另一板受它的作用力
q2f?q?2?0S2?0Sq，这是两板间相互作用的电场力．
???l?p?ql8-5 一电偶极子的电矩为，场点到偶极子中心O点的距离为r,矢量r与的夹角为???l．试证P点的场强E在r方向上的分量Er和垂直于r的分量E?分别为
pcos?psin?Er=2??0r3, E?=4??0r3
???p证: 如题8-5所示，将分解为与r平行的分量psin?和垂直于r的分量psin?．
∵ r??l ∴ 场点P在r方向场强分量
pcos?Er?2π?0r3
垂直于r方向，即?方向场强分量
psin?E0?4π?0r3
图)，且r,(见题8-5
题8-5图 题8-6图
8-6 长l=15.0cm?的直导线AB上均匀地分布着线密度?=5.0x10C·m?的正电荷．试求：(1)在导线的
-9
-1
延长线上与导线B端相距处点的场强．? 解： 如题8-6图所示
a1=5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm
Q(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为
dEP?1?dx4π?0(a?x)2
dx?(a?x)2?11?[?]ll4π?0a?a?22
?l?π?0(4a2?l2) ?9?1用l?15cm，??5.0?10C?m, a?12.5cm代入得
EP??dEP??4π?0l2l?2
EP?6.74?102N?C?1方向水平向右
1?dxdEQ?4π?0x2?d22 方向如题8-6图所示 (2)同理?
?dE?0EQy?lQx
由于对称性，即只有分量，
dEQy∵
1?dx?4π?0x2?d22d2x2?d22
l2l?2EQy??dEQyld??24π?2?dx(x?d)22232?以??9?l2π?0l2?4d22?1
?5.0?10C?cm, l?15cm,d2?5cm代入得
，方向沿
EQ?EQy?14.96?102N?C?1解: 如8-7图在圆上取dly轴正向
8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?,求环心处O点的场强．
?Rd?
题8-7图
dq??dl?R?d?，它在O点产生场强大小为
dE??Rd?4π?0R2方向沿半径向外
dEx?dEsin??则
?sin?d?4π?0R
dEy?dEcos(???)?
积分
Ex???0??sin?d??4π?0R2π?0R
Ey???0??cos?d?4π?0R
E?Ex?∴
(2)证明：在r?2π?0R，方向沿x轴正向．
??cos?d??04π?0R
8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为
q．(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；
??l处，它相当于点电荷q产生的场强E．?
q?解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷4在P点产生物强dEP方向如图，大小为
??cos?1?cos?2?dEP?l224π?0r?4
cos?1?∵
l2l2r?22
cos?2??cos?1
?ldEP?l2l2224π?0r?r?42 ∴
?dEP在垂直于平面上的分量dE??dEPcos?
dE??4π?0∴
?ll2l22r?r?4222rl2r?4
题8-8图
由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为
l2l224π?0(r?)r?42q??4l ∵
qrEP?2l222l4π?0(r?)r?42 方向沿OP ∴
2EP?4?dE??4?lr
8-9 (1)点电荷位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；
(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷
qq的电场中取半径为R的圆平面．q在该平面轴线上的A点处，求：通过圆平面的电通
??arctan量．(
解: (1)由高斯定理立方体六个面，当
Rx)?
??qE??dS?s?0q在立方体中心时，每个面上电通量相等
?e?∴ 各面电通量
q6?0．
(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使
q处于边长2a的立方体中心，则边长2a的正
?e?方形上电通量
q6?0
对于边长a的正方形，如果它不包含如果它包含
q所在的顶点，则
?e?q24?0，
q所在顶点则?e?0．
如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图
题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图 (3)∵通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为
R2?x22的球冠面的电通量，球冠面积*
S?2π(R2?x2)[1???q0S?xR?x2]
∴
*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图
?0?04π(R2?x2)xq1?2?0[R2?x2]
S??2πrsin??rd?
?5?2πr?2?0sin??d??2πr(1?cos?)
8-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×10点的场强．
C·m求距球心5cm，8cm ,12cm 各
-3
2解: 高斯定理
???q2E?dS?E4πr??s?q?0
?0,
?q?0E?r?5cm当时，,?0
4π?p3?r3)q(r?r?8cm时，内 34π32?r?r内3E?24π?r?3.48?104N?C?1， 方向沿半径向外． 0∴
4π3q??3?r）(r?内3外r?12cm时,
4π33?r外?r内43E??4.10?102?14π?r0∴ N?C沿半径向外.
????
8-11 半径为求:(1)r＜
R1和R2(R2＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量?和-?,试
R1；(2) R1＜r＜R2；(3) r＞R2处各点的场强．