解: 高斯定理
???q?E?dS?s?0
取同轴圆柱形高斯面，侧面积S则 对(1) (2)
S?2πrl ???E?dS?E2πrl
r?R1
R1?q?0,E?0
?r?R ?q?l?
2
E?∴
?2π?0r 沿径向向外
(3)
r?R2
?q?0
∴ E?0
题8-12图
8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为?1和?2，试求空间各处场强．? 解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为
?1与?2，
?1?E?(?1??2)n2?0两面间，
?1?E??(?1??2)n2?0?1面外，
?1?E?(?1??2)n2?0?2面外，
?n：垂直于两平面由?1面指为?2面．
8-13 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为解: 将此带电体看作带正电
?,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，如题
8-13图所示．试求：两球心O与O?点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．
?的均匀球与带电??的均匀小球的组合，见题8-13图(a)． ?E??球在O点产生电场10?0，
(1)
?? 球在O点产生电场
?E2043πr?3?OO'34π?0d
?r3?E0?OO'33?d0∴ O点电场；
43?d??E10??3OO'34π?d??0(2) 在O?产生电场
???球在O?产生电场E20??0
??E0??3?0OO'
∴ O? 点电场
题8-13图(a) 题8-13图(b)
(3)设空腔任一点P相对O?的位矢为r?，相对O点位矢为r(如题8-13(b)图)
?????rEPO?3?0，
则
???r?EPO???3?0,
?????????dEP?EPO?EPO??(r?r?)?OO'?3?03?03?0∴
∴腔内场强是均匀的．
8-14 一电偶极子由=1.0×10C?的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm，把这电偶极子放在1.0
5-1
×10N·C?的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩．??
q-6
??pE解: ∵ 电偶极子在外场中受力矩
??? M?p?E
Mmax?pE?qlE代入数字 ∴
-8
Mmax?1.0?10?6?2?10?3?1.0?105?2.0?10?4N?m
rqqr8-15 两点电荷1=1.5×10C，2=3.0×10C，相距1=42cm，要把它们之间的距离变为2=25cm，需
-8
作多少功??
解:
A??r2r1??r2qqdrqq11F?dr??122?12(?)r24π?0r4π?0r1r2
??6.55?10?6J
?6外力需作的功 A???A??6.55?10 J
8-16 如题8-16图所示，在
A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB题8-16图
间距离为2R，现将
另一正试验点电荷0从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的功．? 解: 如题8-16图示
q1qq(?)?04π?0RR 1qq??qUO?(?)4π?03RR6π?0R
UO?A?q0(UO?UC)?∴
qoq6π?0R
8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强和电势．?
AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl?Rd??y则dq??Rd?产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿轴负方向
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，
题8-17图
E??dEy??2?????sin(?)?sin4π?0R［22?Rd?cos??4π?R202
］
???2π?0R
U?0
(2) AB电荷在O点产生电势，以??2R?dx?dx?U1?????ln2B4π?xR4π?x4π?000
?U2?ln24π?0同理CD产生
AU3?半圆环产生
πR???4π?0R4?0
UO?U1?U2?U3?∴
4-1
8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×10m·s的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量
??ln2?2π?04?0-19
m0=9.1×10
E?-31
kg，电子电量e=1.60×10C)
解: 设均匀带电直线电荷密度为?，在电子轨道处场强
?2π?0rFe?eE?电子受力大小
e?2π?0r
e?v2?m2π?rr0∴
2π?0mv2???12.5?10?13C?m?1 e得
8-19 空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压
-1
平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm，求此电容器可承受的最高电压．?
解: 平行板电容器内部近似为均匀电场
?Ed?1.5?104V
??q8-20 根据场强E与电势U的关系E???U，求下列电场的场强：(1)点电荷的电场；(2)总电量为
q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子p?ql的r??l处(见题8-20图)．?
∴ UU?解: (1)点电荷
q4π?0r
题 8-20 图
??U?q?E??r0?r?20r?r4π?r0∴ 0为r方向单位矢量．
q(2)总电量，半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势
4π?0R2?x2
???U?qxE??i?i223/2?x4π?R?x0∴
??(3)偶极子p?ql在r??l处的一点电势
q11qlcos?U?[?]?ll4π?04π?0r2(r?cos?)(1?cos?)22?Upcos?Er???3?r2π?r0∴
U?q??
E???
8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同．? 证: 如题8-21图所示，设两导体
1?Upsin??r??4π?0r3A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为?1，?2，?3，?4
题8-21图
(1)则取与平面垂直且底面分别在
s???E?dS?(?2??3)?S?0A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有
3∴ 2
说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；
????0(2)在
A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即
?1?2?3?4????02?02?02?02?0
???3?0
又∵ 24 ∴ 1说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．
???A，B和C的面积都是200cm2，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0 mm．B，
C都接地，如题8-22图所示．如果使A板带正电3.0×10-7C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少?
8-22 三个平行金属板解: 如题8-22图示，令
A板左侧面电荷面密度为?1，右侧面电荷面密度为?2
题8-22图
(1)∵ ∴
UAC?UAB，即
EACdAC?EABdAB
?1EACdAB???2?EdABAC∴ 2
且
?1+?2?qAS
qA2q,?1?A3S 3S 得
2qC???1S??qA??2?10?7C 3而
?2?qB???2S??1?10?7C (2)
?1dAC?2.3?103?0V
qRRRR8-23 两个半径分别为1和2（1＜2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+，试计算：?
UA?EACdAC?(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；?
(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；? *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．? 解: (1)内球带电
?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，其电势
题8-23图
U??内表面
?R2???E?dr??(2)外壳接地时，外表面电荷
?q产生：
?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q．所以球壳电势由内球?q与
q4π?0R2?q4π?0R2?0
qdrq?R24π?r24π?0R 0U?(3)设此时内球壳带电量为
此时内球壳电势为零，且
q?；则外壳内表面带电量为?q?，外壳外表面带电量为?q?q?(电荷守恒)，