www.zgxzw.com 中国校长网 （最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第三十一章 与圆有关的位置关系
31.1 直线与圆的位置关系
11.（2012山东省荷泽市，11，3）如图，PA、PB是⊙o的切线，A、B为切点，AC是⊙o 的直径，若∠P=46°，则∠BAC=______.
【解析】因为PA、PB是⊙o的切线，所以PA=PB，OA⊥PA，又因∠P=46°，所以∠PAB=67°，所以∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-67°=23°， 【答案】23°
【点评】当圆外一点向圆引两条切线，可以利用切线长定理及切线的性质定理，利用等腰三角形的性质及及垂直的性质来计算角的度数.
14.（2012连云港，14，3分）如图，圆周角∠BAC=55°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC= °。
PBOCA
【解析】连结OB，OC，则OB⊥PB，OC⊥PC。则∠BOC=110°，在四边形PBOC中，根据四边形的内角和为360°，可得∠BPC=70°。 【答案】70
【点评】本题考查了圆周角与圆心角的关系以及切线的性质。
14. （2012湖南湘潭，14，3分）如图，?ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线,你所添加的条件为 .
A
O 第14题图
CB
0
【解析】根据切线的定义来判断，BC⊥AB，或∠ABC=90。
0
【答案】BC⊥AB，或∠ABC=90。
【点评】此题考查切线的定义。圆的切线垂直于过切点的半径。
20. （2012浙江丽水8分，20题）（本题8分）如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD.
（1）求证：BD平分∠ABH；
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www.zgxzw.com 中国校长网 （2）如果AB=12，BC=8，求圆心O到BC的距离.
【解析：】（1）欲证BD平分∠ABH，只需证∠OBD=∠DBH.连接OD，则∠OBD=∠ODB，为止只需证∠ODB=∠DBH即可.（2）过点O作OG⊥BC于点G，在Rt△OBG中，利用勾股定理即可求得OG的值.
【解】：（1）证明：连接OD. ∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF. 又∵BH⊥EF，∴OD∥BH， ∴∠ODB=∠DBH.
而OD=OB，∴∠ODB=∠OBD， ∴∠OBD=∠DBH， ∴BD平分∠ABH.
（2）过点O作OG⊥BC于点G，则BG=CG=4，
在Rt△OBG中，OG=OB?BG?2262?42?25.
【点评】：已知圆的切线，常作过切点的半径构造直角三角形，以便于利用勾股定理求解问题.
20.（2012福州，20，满分12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E。 （1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=23，求AE的长。
解析：（1）由CD是⊙O的切线，C是切点，故优先考虑连接OC，则OC⊥CD，AD∥OC，因此易证AC平分∠DAB；（2）由∠B=60°，可联想到30°的直角三角形及用解直角三角形的方法求出AE，由∠B=60°，可得∠1=∠3=30°，因为CD=23，因此可得AC=43，从而可求得AB的长，连接OE，易知△OEA是等边三角形，故可求得AE的长，本题还可连接CE、AB等来求出AE。 答案：（1）证明：如图1，连接OC，
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∵CD为⊙O的切线 ∴OC⊥CD ∴∠OCD=90° ∵AD⊥CD ∴∠ADC=90°
∴∠OCD+∠ADC=180° ∴AD∥OC ∴∠1=∠2 ∵OA=OC ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠3
即AC平分∠DAB。
（2）解法一：如图2
∵AB为⊙O的直径 ∴∠ACB=90° 又∵∠B=60° ∴∠1=∠3=30° 在Rt△ACD中，CD=23 ∴AC=2CD=43 在Rt△ABC中，AC=43 ∴AB?AC4cos?CAB?3cos300?8 连接OE
∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE ∴△EAO是等边三角形 ∴AE=OA=
12AB=4. 中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网 解法二：如图3，连接CE
∵AB为⊙O的直径 ∴∠ACB=90° 又∵∠B=60° ∴∠1=∠3=30° 在Rt△ACD中，CD=23 ∴AD?CD23??6
tan?DACtan300∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形 ∴∠B+∠AEC=180° 又∵∠AEC+∠DEC=180° ∠DEC=∠B=60° 在Rt△CDE中，CD=23 ∴DE?DC23??2 0tan?DECtan60∴AE=AD-DE=4.
点评：本题通过在圆中构造有关图形，考查了圆的切线等有关性质，平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质及解直角三角形；考察逻辑思维能力及推理能力，具有较强的综合性，难度中等。
23（2012贵州铜仁，23，12分）．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E， AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F． （1）求证：CD∥ BF；
（2）若⊙O的半径为5， cos∠BCD=AD的长．
4，5求线段
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【分析】（1）由BF是圆O的切线，AB是圆O的直径，根据切线的性质，可得到BF⊥AB，然后利用平行线的判定得出CD∥BF
（2）由AB是圆O的直径，得到∠ADB=90o ，由圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再根据三角函数cos∠BAD= cos∠BCD==
5AB
即可求出AD的长
【解析】（1）证明：∵BF是圆O的切线，AB是圆O的直径
∴BF⊥AB ∵CD⊥AB ∴CD∥BF
（2）解：∵AB是圆O的直径
∴∠ADB=90o ∵圆O的半径5 ∴AB=10
∵∠BAD=∠BCD
23题图
4AD4AD= 5AB4∴AD?cos?BAD?AB??10=8
5∴ cos∠BAD= cos∠BCD=
∴AD=8
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。圆是一个特殊的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。在近几年各地的中考中,圆的有关性质,如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点.
23. (2012湖北随州，23，10分) 如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且
AD+BC=CD，O为AB的中点.
（1）求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切； （2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长.
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