www.zgxzw.com 中国校长网 为圆心，DA长为半径的⊙D与AB相切于点A，与BC交于点F，过点D作DE⊥BC,垂足为E。 （1）求证：四边形ABED为矩形； （2）若AB=4，
AD3?,求CF的长。 BC4
【解析】（1）根据切线的性质可得，∠DAB=900，由平行关系AD∥BC可得，∠ABE=900，又DE⊥BC, ∠BED=900，即三个角是直角，可判定四边形是矩形；
（2）分析图形，构建Rt△DEC,由（1）的结论可得，DA=DC,AB=DE,应用勾股定理可求得CF的长CF=CD2-DE2。
【答案】（1）∵⊙D与AB相切于点A，∴AB⊥AD，即∠DAB=900，
又∵，AD∥BC, DE⊥BC,∴∠ADE=∠DEB=900，∴四边形ABED为矩形；
(2)∵四边形ABED为矩形；∴DE=AB=4，∵DA=DC,∴点C在⊙D上，∵在⊙D中， DE⊥BC,∴CF=2EC，又∵
AD3?，设AD=3k,则BC=4k,∴BE=3k,EC=BC-BE=k,DC=AD=3k,BC4由勾股定理得，DE2+EC2=DC2，即42+k2=(3k)2,解得，k=±2,负值无意义舍去，∴k=2,∴CF=2k=22.
【点评】本题是圆、四边形、三角形的综合题目，这三部分性质得综合应用，应用时要注意结合图形，合理选择方法解题的关键.
1. （2012年四川省德阳市，第23题、．） 如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥
AB于点H，过点B作⊙O 的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连结并延交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G. ⑴求证：⑵求证：⑶若
AE?FD?AF?EC； FC?FB；
FB?FE?2，求⊙O 的半径r的长.
【解析】
（1）根据CH?BD可证△AEC?△ADF即可证得结论．
（2） 连接OC和OF, 证明△COF?△BOF可证结论．
（3）首先证明∠FAG=∠FGA,从而得出AF=GF.进而得到AB=BG.在由△COF?△BOF 由
BFBG?得到结论． OCCG中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
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【答案】（1）∵DB是圆O的切线，AB是直径． ∴DB⊥AB. 又CH⊥AB ∴CH?BD
∴
AECE? AFDF即AE?FD?AF?DF (2) 连接OC,OF.
∵F是BD的中点，O是AB的中点 ∴OF?AD
∴∠FOB=∠DAB, ∠COF=∠ACO=∠DAB ∴∠COF=∠BOF, OF=OF, OB=OC ∴△COF?△BOF ∴FC=FB.
（3）设OC=R ∵FB=FC,FE=FC ∴FC=FE
∴∠FCE=∠FEC=∠AEH.
又∠FOG+∠AEH=90°，∠G+∠FCE=90° ∴∠DAG=∠G. ∴ FA=FG. ∵ BF⊥AG ∴AB=BG.
则OG=3R. CG=OG?OC?9R?R?22R 有因为△BGF?△COG 所以
2222BFBG22R?,即?, R=22 R22ROCCG【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，圆的割线定理，相似三
角形的性质和判定，综合性强．解决这样的问题，恰当添加辅助线是关键．
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www.zgxzw.com 中国校长网 21．(2012山东德州中考,21,10,)如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD?BC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AG∥BE交BC于G． （1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）求线段AF的长．
A F G B D
O
C
21．【解析】（1）由题意可知点A是弧ＢＥ的中点，由垂径定理即可得出： OA⊥BE，又∵AG∥BE，∴OA⊥AG．所以AG和⊙O的半径垂直，直线AG与⊙O的位置关系相切．（2）要求AF的长，先由已知得出△AOB为等边三角形；在求出AD、BD的长，在Rt△BDF中由三角函数求出DF的值，然后求出AF=AD?DF．
解：（1）AG与⊙O相切. ????????????（1分）
证明：连接OA，∵点A，E是半圆周上的三等分点， ∴弧BA、AE、EC相等， ∴点A是弧BE的中点， ∴OA⊥BE． 又∵AG∥BE， ∴OA⊥AG．
∴AG与⊙O相切． ????????????（5分） （2）∵点A，E是半圆周上的三等分点， ∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°． 又OA=OB，
∴△ABO为正三角形．???????????（6分） 又AD⊥OB，OB=1， ∴BD=OD=
G B A F D
O
C E E 31， AD=．????????????（8分）
22又∠EBC=
1?EOC=30， 23， 6在Rt△FBD中， FD=BD?tan∠EBC= BD? tan30°=中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网 ∴AF=AD?DF=333-=．????????????（10分）
263【点评】本题综合考查了圆与解直角三角形的相关知识，垂径定理和三角函数的定义考查是中考中的常考问题之一，需要重点掌握次知识．
22. （2012广州市，16， 3分）（本小题满分12分）
如图8， ⊙P 的圆心为P{－3,2}，半径为3，直线MN过点M{5,0}且平行于y轴，点N在点M的上方。
{1} 在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P`，根据作图直接写出⊙P`与直线MN的位置关系： {2}若点N在{1}中的⊙P上。求PN的长。
y543NP-5-4-3-2-121O-1-2-3-4-512345Mx
p`E
【解析】（1）确定了⊙P`的圆心的位置即可画出⊙P`。看出MN与⊙P`的位置。（2）利用勾股定
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www.zgxzw.com 中国校长网 理可求出PN的长。 【答案】解：（1）点P{－3,2}关于y轴对称点为P`{3,2},以点P`为圆心，3为半径的圆即为所求，⊙P`与直线MN相交。 （2）NE=32?(5?3)2=5. 在Rt△PNE中，PN=(3?5)2?(5)2=69。
【点评】本题考查了图形的轴对称画图，圆中垂径定理以及勾股定理在坐标系中的应用。
23. (2012山东省临沂市，23，9分）如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=600，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC. (1)求证：AP是⊙O的切线； （2）求PD的长。 【解析】（1）证明AP是⊙O的切线，连接OA，只需证明半 径与直线的夹角是900，即∠PAO=900便可。
（2）CD是⊙O的直径，∴连接AD，∠ADC=900，又∠B =600，AC=3，应用三角函数可求得PD=AD=AC?tan300=3. 解：（1）证明: 连接OA，∵∠B=600，∠AOC=2∠B=1200, ∵OA=OC,∴∠ACP=CAO=300,∴∠AOP=600,
又∵AP=AC.∴∠P=∠ACP=300，∴∠OAP=900，即OA⊥AP, ∴AP是⊙O的切线；
(2) CD是⊙O的直径，连接AD，∴∠CAD=900， ∴AD=AC?tan300=3.
∵∠ADC=∠B=600，∴∠PAD=∠ADC-∠P=300,∴∠P=∠PAD, ∴PD=AD=3.
【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角函数的应用．要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
31.2圆与圆的位置关系
8. （2012福州，8，4分，） ⊙O1和 ⊙O2,的半径分别是3㎝和4㎝，如果O1O2=7㎝，则这两圆的位置关系是（ ）
A．内含 B.相交 C.外切 D. 外离 解析：因为⊙O1和 ⊙O2,的半径和=7，因此两圆外切。 答案：C
点评：本题考查两圆的位置关系，设两圆的半径分别为R、r(R>r)，圆心距为d，则：(1)d>R+r时，
两圆外离；(2)d=R+r时，两圆外切；(3)R-r （2012四川成都，7，3分）已知两圆外切，圆心距为5cm，若其中一个圆的半径是3cm，则另一 个圆的半径是（ ） 中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com