www.zgxzw.com 中国校长网 【答案】（1）证明：连结OD，∵∠DOB=2∠DCB，
又∵∠A=2∠DCB，∴∠A=∠DOB． ∴∠A+∠B=90°，∴∠BDO=90°， ∴OD⊥AB，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解法一：过点O作OM⊥CD于点M， ∵OD=OE=BE=
1BO， ∠BDO=90°， 2∴∠B=30°，∴∠DOB=60°， ∴∠DCB=30°，∴OC=2OM=2， ∴OD=2，BO=4，∴BD=23 解法二：过点O作OM⊥CD于点M，连结DE， ∵OM⊥CD， ∴CM=DM． 又∵OC=OE，∴DE=2OM=2， ∵Rt△BDO中，OE=BE，∴DE?1BO， 2∴BO=4，∴OD=OE=2，∴BD=23
【点评】本题涉及到圆的切线性质，勾股定理等知识考查.本题运用圆的切线性质是关键，圆的切线是圆的重点内容之一，也是中考考点内容之一，该题难度较小.
22．（湖南株洲市8,22题）（本题满分8分）如图，已知AD为?o的直径，B为AD延长线上一点，
BC与?o 切于C点，?A?30.
求证：（1）、BD=CD；
（2）、△AOC≌△CDB.
?
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www.zgxzw.com 中国校长网 【解析】由BD与CD在同一个三角形中，所以要证明它们相等，就应该利用等角对等边，也就是证明∠BCD=∠B，证明三角形相似，就是来找出两组角相等. 【解】（1）?AD为?o的直径
?∠ACD=90°
又?∠A=30°，OA=OC=OD
?∠ACO=30°，∠ODC=∠OCD=60°-----------------------------1分 又?BC与?o切于C
?∠OCB=90°------------------------------------------2分 ?∠BCD=30° ?∠B=30° ?∠BCD=∠B
?BD=CD --------------------------------------------4分
（2）?∠A=∠ACO=∠BCD=∠B=30°----------------------------6分
?AC=BC-----------------------------------------------7分
??AOC??BDC--------------------------------------------------------8分
【点评】在实数运算中，掌握一些运算的基本技能，如零指幂、负指数幂，特殊角的三角函数值，并掌握实数的运算顺序.
10. （2011江苏省无锡市，10，3′）如图，以M（－5,0）为圆心、
4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与与x轴交于E、F两点，则EF的长（ ） A．等于42 B. 等于43
C.等于6 D.随P点位置的变化而变化
【解析】方法一：利用锐角三角函数。设∠PAB=β，
则∠ODB=β，依题意可知AO=9，OB=1，在RtΔACO中， tanβ=
1CO,则CO=9 tanβ，同理，在RtΔBOD中可得OD?，
tan?AO19tan?11,连接NF，则NF=CD= ?tan?22tan?2∴CD=OC+OD=9 tanβ+
NO=DN－OD=
9tan?119tan?11??CD－OD=－=， 22tan?tan?22tan?2在RtΔNOF中，OF2?NF2?NO2=（NF+NO）（NF—NO） =（
9tan?19tan?19tan?19tan?1????+）[—（）] 22tan?22tan?22tan?22tan?中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网 =9 tanβ2
1=9，∴OF=3，∴EF=2OF=6. tan?方法二，利用切割线定理的推论。由切割线定理推论可知AE2AF=AP2AC，又
AOACΔACO∽ΔABP，得，∴AO2AB=AP2AC,∴AE2AF= AO2AB. ?APAB∵AO=9，AB=8，AE=AO－OE=9－OE，AF=AO+OF=AO+OE=9+ OE, ∴（9－OE）2（9+ OE）=72，∴81-OE2=72，∴OE2=9，∴OE=3，∴EF=6.
方法三，举特例。特殊问题不是一般性，当P运动到使∠PAB=45°时，可以很快得到NF=5，NO=4，在RtΔNOF中，可得OF=3. ∴EF=6. 【答案】C，
【点评】本题借助圆的知识主要考查垂径定理及相似三角形的性质，动态的问题又有不变的地方，作为选择题，利用举特例比较好。此题难度较大。
20.（2012福州，20，满分12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E。 （1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=23，求AE的长。
解析：（1）由CD是⊙O的切线，C是切点，故优先考虑连接OC，则OC⊥CD，AD∥OC，因此易证AC平分∠DAB；（2）由∠B=60°，可联想到30°的直角三角形及用解直角三角形的方法求出AE，由∠B=60°，可得∠1=∠3=30°，因为CD=23，因此可得AC=43，从而可求得AB的长，连接OE，易知△OEA是等边三角形，故可求得AE的长，本题还可连接CE、AB等来求出AE。 答案：（1）证明：如图1，连接OC，
∵CD为⊙O的切线 ∴OC⊥CD ∴∠OCD=90° ∵AD⊥CD ∴∠ADC=90°
∴∠OCD+∠ADC=180°
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www.zgxzw.com 中国校长网 ∴AD∥OC ∴∠1=∠2 ∵OA=OC ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠3
即AC平分∠DAB。
（2）解法一：如图2
∵AB为⊙O的直径 ∴∠ACB=90° 又∵∠B=60° ∴∠1=∠3=30° 在Rt△ACD中，CD=23 ∴AC=2CD=43 在Rt△ABC中，AC=43 ∴AB?AC43cos?CAB?cos300?8 连接OE
∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE ∴△EAO是等边三角形 ∴AE=OA=
12AB=4. 解法二：如图3，连接CE
∵AB为⊙O的直径 ∴∠ACB=90° 又∵∠B=60° ∴∠1=∠3=30° 在Rt△ACD中，CD=23 中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网 ∴AD?CD23??6
tan?DACtan300∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形 ∴∠B+∠AEC=180° 又∵∠AEC+∠DEC=180° ∠DEC=∠B=60° 在Rt△CDE中，CD=23 ∴DE?DC23??2 0tan?DECtan60∴AE=AD-DE=4.
点评：本题通过在圆中构造有关图形，考查了圆的切线等有关性质，平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质及解直角三角形；考察逻辑思维能力及推理能力，具有较强的综合性，难度中等。
22. （2012广州市，16， 3分）（本小题满分12分）
如图8， ⊙P 的圆心为P{－3,2}，半径为3，直线MN过点M{5,0}且平行于y轴，点N在点M的上方。
{1} 在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P`，根据作图直接写出⊙P`与直线MN的位置关系： {2}若点N在{1}中的⊙P上。求PN的长。
y5N丁佩P4321-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-512345Mx
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