www.zgxzw.com 中国校长网
解析:（1）过AB的中点O作OE⊥CD于E.证明OE的长等于半径即可.（2）证明∠COD=900，运用勾股定理求值..
答案:证明： 过AB的中点O作OE⊥CD于E.
S梯形ABCD=
1(AD+BC) ?AB=(AD+BC) ?OA 211=2(AD?OA+BC?OB)
22=2(S⊿OAD +S⊿OBC)
由S梯形ABCD =S⊿OBC+ S⊿OAD+ S⊿OCD ∴S⊿OBC+ S⊿OAD=S⊿OCD
111AD?OA+BC?OA=CD2OE 22211∴(AD+BC) 2OA=CD2OE又AD+BC=CD 22∴
∴OA=OE,∴E点在以AB为直径的⊙O上，又OE⊥CD ∴CD是⊙O的切线
即：CD与⊙O相切 ????5分
（2）∵DA、DE均为⊙O的切线，∴DA=DE，则∠1=∠2，同理∠3=∠4. ∴∠COD=900.
∴CD=OD?OC?2262?82?10(cm) ????5分
点评:本题考查梯形、直线余与圆的位置关系、勾股定理.根据圆的切线的定义准确的作出辅助线是解决问题的关键.本题中运用面积法证明AD+BC=CD很巧妙.难度较大.
（2012四川成都，27，10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点
E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K． （1）求证：KE=GE；
（2）若KG=KD2GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若sinE=
23，AK=23，求FG的长． 5中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网
解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明∠EGK=∠EKG，然后根据等角对等边，即可证明
第（1）小题；对于第（2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系；对于第（3）小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求FG的长。 答案：（1）如下图，连接OG，
∵EG是⊙O的切线 ∴OG⊥GE
∴∠OGK+∠EGK＝90° ∵CD⊥AB
∴∠OAG+∠AKH＝90° ∵OG=OA
∴∠OGK=∠OAG
∴∠EGK=∠AKH=∠EKG ∴KE=GE； （2）AC∥EF 理由如下：
∵KG=KD2GE，GE=KE ∴
2KGKE? KDKG∴△KGD∽△KGE ∴∠KGD＝∠E ∠KGD＝∠C ∴∠E＝∠C ∴AC∥EF
（3）∵在（2）的条件下， ∴AC∥EF
∴∠CAF＝∠F，∠E＝∠C
3 5343∴sinC=,sinF=,tanE=tanC=
554∵sinE=
连接BG，过G作GN⊥AB于N，交⊙O于Q
则弧BQ=弧BG ∴∠BGN＝∠BAG
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网 设AH=3k，则CH=4k
CH216k216kBH+AH25k==于是BH=，OG= =AH3k326∵EG是切线，CD⊥AB
∴∠OGF＝90°
∴∠FOG+∠F=∠E+∠F ∴∠FOG=∠E ∴NG=OGsin∠FOG=
25k35k?= 65225k?4?5k?1-?= 6?5?6∴BN=OB-ON=OG-OGcos∠FOG=
∴BG=NG+BN=225k10 65kBN3103k∴cos∠BAG=cos∠BGN= =2==GB510k10236∴k=30 55kNG25230530∴FG= =2=?=4sin?F81085Q
N
点评：本题的第（3）小题是一道大型综合题，且运算量较大，属于较难题；但是，前两个小题比
较基础，同学们应争取做对。 27．（（2012江苏泰州市，27，本题满分12分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C. （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC=25，求⊙O的半径和线段PB的长；
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网 （3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围.
OBP┏O┏CAlAl
（第27题图） （备用图） 【解析】（1）由于AB是⊙O的切线，故连半径，利用切线性质，圆半径相等，对顶角相等，余角性质，推出AB,AC两底角相等；
（2）设圆半径为r，利用勾股定理列方程求半径，再利用三角形相似求PB
（3）先作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于MN，再利用勾股定理计算即可
0
【答案】（1）AB=AC; 连接OB，则OB⊥AB，所以∠CBA+∠OBP=90,又OP=OB，所以∠OBP=∠OPB，
0
又∠OPB=∠CPA，又OA⊥l于点A，所以∠PCA+∠CPA=90，故∠PCA=∠CBA，所以AB=AC
2222222222
（2）设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r；∴AB=OA-OB=5-r,AC=PC-AP=(25)-（5-r），
从而建立等量关系，r=3，∵AB=AC，∴AB= AC，利用相似，求出PB=4
（3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OD垂直于MN，则可推出OD=
22
11122AC?AB=5?r；由题意，圆O要与直线MN有交点，所以222122OD?5?r?r,r?5；又因为圆O与直线l相离；所以r<5;综上，5?r?5.
2【点评】本题主要考查了切线的性质、等角对等边、三角形相似的判定及其性质的运用以及勾股定理的应用等知识,知识点丰富；考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力，考查了圆的相关知识，圆的切线是圆中的重点，也是考试常考的部分；求线段的长常用勾股定理或相似等知识解答.
24. (2012山东省聊城，24，10分）如图，⊙O是△ABC外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是BC弧上一动点，过点P作BC的平行线交AB延长线与点D. （1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？说明理由. （2）当DP是⊙O的切线时，求DP的长.
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网
解析：（1）根据PD//BC，可以天加辅助线由切线判定定理解题；（2）根据勾股定理与垂径定理求出⊙O半径r，再结合△ABE∽△ADP即可.
解：（1）当P是BC中点时，DP是⊙O的切线.理由如下： ∵AB=AC，∴又
∴PA是⊙O的直径.
又AB=AC，∴PA⊥BC. ∵DP//BC，∴PD⊥AP. ∴DP是⊙O的切线.
（2）连接OB，设PA交BC于点E. 由垂径定理得，BE=
1BC?6. 2AB2?BE2?102?62?8.
在Rt△ABE中，据勾股定理，AE?设⊙O的半径为r，则OE=8-r. 在Rt△OBE中，r?6?(8?r). 解得r=
22225. 4∵DP//BC，∴∠ABE=∠D.
又∵∠1=∠1，∴△ABE≌△ADP.
BEAE6，即??DPAPDP∴DP=
8， 252?475 8点评：本题是一道综合试题，以圆为载体考查了圆的基本知识、圆的切线、平行线、勾股定理、相似三角形、方程思想等，解题要冷静、细心、充分拓展数学核心知识，达到灵活解决问题.
22.（2012浙江省湖州市，22，10分）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,DA=DC,以点D
中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com