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【解析】由于切线的性质可得∠PAC，切线长定理得PA=PB，∠P=50°，∠PAB和∠PBA的大小，进而求出∠BAC的大小．
解：∵PA，PB分别切⊙O于A，B点，AC是⊙O的直径， ∴∠PAC=90°，PA=PB， 又∵∠P=50°， ∴∠PAB=∠PBA=
=65°，
∴∠BAC=∠PAC﹣∠PAB=90°﹣65°=25°．
【点评】本题考查切线的性质和切线长定理；及等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，此题考查的知识点较多，但是难度不大.
21. （2012珠海，21，9分）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿PO对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上. （1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）； （2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论； （3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD.
DCPABABABPPCOOCO第21题图1第21题图2第21题图3
【解析】(1) PO∥BC.证∠POC＝∠OCB即可;
(2) （1）中结论成立.证明∠CPO＝∠PCB或∠OPB＝∠B即可; (3) 先证OC∥AP.再证∠CPD＝∠CPO＝∠OPA＝60°,最后证AB=4PD. 【答案】(1) PO∥BC.
(2) （1）中结论成立.证明:由对折,得∠APO＝∠CPO,∵AO＝PO,∴∠APO＝∠
??PB?,∴∠A＝∠PCB.∴∠CPO＝∠PCB.∴PO∥BC. A.∵PB中国校长网资源频道 http://zy.zgxzw.com
www.zgxzw.com 中国校长网 (3) 证明:∵CD为切线,∴OC⊥CD. ∵CD⊥AP,∴∠OCD＝∠CDP＝90°. ∴OC∥AP.∴∠CPD＝∠OCP.
由对折,得∠A＝∠OCP. ∴∠CPD＝∠A.
又∠A＝∠OPA, ∠OPC＝∠OCP, ∠APD是平角, ∴∠CPD＝∠CPO＝∠OPA＝60°. ∴CP＝OP＝
1AB. 21PC. 2在Rt△CPD中，PD＝CP2cos60°＝
∴AB＝4PD.
【点评】这是一道与圆与关的几何综合题.主要考点有圆的有关性质,切线的性质,图形变换,直角三角形的性质,锐角三角函数等.属中档题.
16．（2012湖北武汉，16，3分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2，设tan∠BOC=m，则m的取值范围是 解析：解答本题可先画出图形，以A为圆心，2为半径作圆，过O作⊙A切线AC’，显然当C与C’重合时m取最小值，此时m=tan∠BOC’=tan∠OAC’=
55，故m≥ 225． 2答案m≥
点评：：本题看似考察三角函数，由于C为一动点，解题时需掌握其运动规律，故需构建相应的圆，题目实质是对圆与切线以及三角函数的综合考察，难度较大．
24. （2012呼和浩特，24，8分）（8分）如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC。 （1）求证：∠PAC=∠B，且PA2BC=AB2CD （2）若PA=10，sinP=
A3，求PE的长。 5OPEDBC
【解析】切线的性质，三角形相似，对应边成比例，锐角三角函数 【答案】
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www.zgxzw.com 中国校长网 （1）证明： ∵PA是⊙O的切线 ，AB是直径 ∴∠PAO=90°，∠C=90° ∴∠PAC+∠bac=90°且∠B+∠BAC=90° ∴∠PAC=∠B 又∵OP⊥AC ∴∠ADP=∠C=90° ∴△PAD∽△ABC ∴AP：AB=AD：BC ∵在⊙O中，AC⊥OD ∴AD=CD ∴AP：AB=CD：BC ∴PA·BC=AB·CD （2）解：
3，且PA=10 5AD3∴? AP5∵sinP=∴AD=6
∴AC=2AD=12 ∵在Rt△ADP中，PD=又∵AP：AB=PD：AC
AP2?AD2?8
10?12?15 815∴AO=
225∴OP=
22515∴PE=OP–OE=–=5
22∴AB=
【点评】本题(1)考查了利用切线的性质求得直角，利用直径所对圆周角是90°，得到直角，并得出一对相似三角形，利用相似三角形对应边成比例得出要证明的结论。(2) 中利用现有的直角三角形三角函数求出线段的长。
3. （2012甘肃兰州，3，4分）已知两圆的直径分别为2㎝和4㎝，圆心距为3㎝，则这两个圆的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 外切 C. 外离 D.内含
解析：本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．由题意知，两圆圆心距d=3＞R-r=2且d=3＜R+r=6，故两圆相交． 答案：A
点评：本题主要考查两圆之间的位置关系。两圆外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R-r＜d＜R+r；内切，则d=R-r；内含，则0≤d＜R-r．（d表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）． 19、（2012甘肃兰州，19，4分）如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB=45°，点P在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是 。
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解析：由题意得x有两个极值点，过点P的直线与⊙O相切时，x取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可．如图，设过点P且与OA平行的直线与⊙O相切于点D，连接OD，由题意得，OD=1，∠DOP'=45°，∠ODP'=90°，故可得OP'=2，即x的极大值为2，同理当点P在x轴左边时也有一个极值点， 此时x取得极小值，x=－2， 综上可得x的范围为： ?2≤x≤2 答案：?2≤x≤2 点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系，分别求出直线与圆相切时OP的长是解决问题的关键，注意两个极值点的寻找，难度一般。
23. （20122湖北省恩施市，题号23 分值12）如图11，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于F，且CE=CB。 （1）求证：BC⊙O是的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=
第19题图
5，求⊙O的半径。 13
【解析】（1）连接OB，证OB⊥BC，即证∠OBE+∠EBC=90°。通过OA=OB，CE=CB，∠AED=∠BEC，可将∠OBE、∠EBC分别转化为∠A、∠AED，结合CD⊥OA可证∠OBE+∠EBC=90°；
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www.zgxzw.com 中国校长网 （2）连接OF，由CD垂直平分OA得AF=OF=OA，再结合圆心角与圆周角关系易求∠ABF的度数；，∴
（3）作CG⊥BE于G，得∠A=∠ECG，CG是BE垂直平分线，由CD=15，BE=10，sinA=
5，可求13EG、CE、CG、DE长度，通过△ADE∽△CGE可求AD，从而计算半径OA。 【答案】（1）证明：连接OB。∵OA=OB，∴∠A=∠OBE。∵CE=CB，∴∠CEB=∠EBC，∵∠AED =
∠EBC，∴∠AED = ∠EBC，又∵CD⊥OA ∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°，∴BC⊙O是的切线；
（2）∵CD垂直平分OA，∴OF=AF，又OA=OF，∴OA=OF=AF，∴∠O=60°，∴∠ABF=30°；
5，∴CE=13，132448ADDEAD2CG=12.又CD=15，∴DE=2。∵ADE∽△CGE，∴，即，??，∴AD=，∴OA=
55CGEG12548即⊙O的半径是。
5（3）作CG⊥BE于G，则∠A=∠ECG。∵CE=CB，BD=10，∴EG=BG=5，∵sinECG=sinA=
【点评】本题将多个知识点结合在一起，问题设计层层递进，梯度鲜明，是一道中档偏上的题，有一定区分度．我们必须学会由已知条件寻找相应的定理、性质的基本图形，以及在不能直接根据已知条件解决问题时，要学会运用转化的思想。 26、（2012甘肃兰州，26,10分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连结DE、OE。
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由； （2）求证：BC2=2CD2OE；
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第26题图