第一章 绪论
1.1 由黑体辐射公式导出维思位移定律，能量密度极大值所对应的波长
比，即
?m与温度T成反
?mT?b （常数）
，并近似计算b的数值，准确到二位有效值。
?d?之间的辐射能量密度为 1e?1ch?kT[解]：由黑体辐射公式，频率在?与?8?h?3??d??3cd?
由此可以求出波长在?与??d?之间的能量密度?(?)d? 由于 ??c/?,
d????21d?
?(?)d??因而有：
8?hc?5ehckT?d??1
令
x?hckT?
8?k5T51A?44?(?)?Axxe?1 （hc常数） 所以有：
5d?(?)?0由 d? 有
?41d?(?)x5ex?dx?A?5xx?x?02?d?e?1(e?1)d???x(1?)ex?15于是，得：
该方程的根为 x?4.965
因此，可以给出，即
?mT?hchc?0.2014xkk
?mT?b （常数）
6.62559?10?34?2.997925?108hcb?0.2014?0.2014?k1.380546?10?23其中
?2.898?10?3m?k
[注]
根据
8?h?3???3cx?1e?1 可求能量密度最大值的频率：
h?kT令
h?kT
38?k3T31A?32???Axxe?1 （ch） d??d1dx?[Ax3x]?0d?dxe?1d?
?x?x?1??e?13?因而可得 ?
此方程的解 x?2.821
?max?kTxkT?2.821hh
?1?T?max?b?
?max?b?Tk1.380546?10?23b??2.821?2.821h6.62559?10?34 其中
?5.878?109k??s?1
这里求得
1.2 在0k附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。
?max与前面求得的?max换算成的?m的表示不一致。
??[解] 德布罗意公式为
hp
p2E?2? 因为价电子能量很小，故可用非相对论公式
hh???2?E2?eV代入德布罗意公式得
数值代入后可得
这里利用了电子能量 E?eV。将普朗克常数h，电子质量?和电子电量电e的
?=h12.250=A2?EV
取V
=3，上式给出 ?=7.08A
03E?kT2（k为玻耳兹曼常数）, 求T=1k时, 氦原子的德布罗意波1.3 氦原子的动能
长。
3E?k2 [解] 当T?1k时，氦原子的动能
氦原子是由两个质子、两个中子以及两个电子组成，其质量
??2mp?2mn?2me
?2(mp?mn?me)?2(mp?mn)
?2?(1.67252?1.67482)?10?27kg ?6.6947?10?27kg
所以氦原子在T?1k时的德布罗意波长
h???2?E6.62559?10?34?m32?6.6947?10?27??1.38054?10?232
?1.258?10?9 (m)?12.58A?
1.4. 利用玻尔——索末菲的量子化条件求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 [解] （1）方法一：量子化条件
?pdq?nh，一维谐振子的能量为
p2122E????q2?2
?2?E?可化为
p22?q2?2E??????2???2?1
上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。两半轴分别为
a?2?E，
这个椭圆的面积为
b?2E??2
?pdq??ab??2?E?方法二：一维谐振子的方程为
2E??2?2?E??E?nhv
故 E?nhv，该式表明，一维谐振子的能量是量子化的。
????2q?0 q其解为 q?Asin(?t??)
dq?A?cos(?t??)dt
而
??A??cos(p??q?t??)
22T0??pdq??A??cos(?t??)dt?2?A2?22T??A2?22v?nh
p2122A2?2?2cos2(?t??)1222E????q????Asin(?t??)2?22?2而
1???2A2?nhv2
（2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心力，于是有
e?2H???cR
故
R??c?eH
这时因为没有考虑量子化，因此R是连续的。
应用玻耳—索末菲量子化条件
?pdq?nh
把电子作圆周运动的半径转过的角度?作为广义坐标，则对应的广义动量为角动量
P????H??122?????R2????R????R??????2???
2?0?P?d????R?d??2???R?2?eH2R?nhc
nhcn?c?2?eHeH h??2?， 可见电子轨道的可能半径是不连续的。 其中
?R?
讨论：①由本题的结果看出，玻尔—索末菲轨道量子化条件和普朗克能量量子化的要求是一
致的。
②求解本题的（1）时，利用方法（一）在计算上比方法（二）简单，但方法（一）只在比较简单的情况，例如能直接看出相空间等能面的形状时才能应用。而方法（二）虽然比较麻烦，但更有一般性。
?1?En??n??hv2?相比较，我们?③本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量
1E0?hv2。发现由玻尔—索末菲量子化条件不能得出零点能但能级间的间隔则完
全相同。前一事实说明玻尔理论的不彻底性，它是经典力学加上量子化，它所得出的结果与由微观世界所遵从的规律——量子力学得出的结果有偏离就不足为奇了，这也说明旧量子论必须由量子力学来代替。
1?d??n?eBE动?ma2???22m ?dt? ④
而
2?E动??eB?MB?B2m
根据统计物理学中的能均分定理，考虑到电子限制在平面内运动，自由度为2，所以电子在温度T?4k?和T?100k?条件下的热运动能分别为：
E1?kT?4k?4?1.38054?10?23?5.522?10?23 joul E2?100k?1.38054?10?21 joul
又将 B?10 特拉斯 MB?9?10 joul/特拉斯 代入（4）式
?24?E动?10?9?10?24?9?10?23 joul
比较以上的计算结果可知：按经典统计理论计算较底温度下电子的能量与按旧量子理论计算的结果在数量级上非常接近，但在OK附近或较高温度下，经典统计理论计算的结果与旧量子理论计算的结果相差甚远。
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等。问要实现这