Pnn??i?当m?n
n?a2?a0sin2n2n?a2n?a?xdx?i?2?cosx0?0a2a2n?a
an?Pmn??i?2a?am?nam?n?cos?x?cos?x??(m?n)?a(m?n)?a??0
??i?n?11m?nm?n(?1)?1?(?1)?1?a?m?n?(m?n)?
??????i?(?1)m?n?1（方法三）
?mn?(m2?n)a22
?????dx??,HP?xdti?
???????(x?)mn?(H?x?)mn?x?,H?H?)mnPmn??(xmni?i?
????????(x?i?k?mkHkn?Hmkxkn)
?i??(xkmkEn?kn?xkmEk?mk)
?i?(xmnEn?xmnEm)(En?Em)xmn
?i?
mn当m?n，P?0
??2?224mna2m?n????Pmn??n?m?(?1)?1i?2?a2(m2?n2)2?2 当m?n，
?(?1)m?n?1??i??2mn?(m?n)a2222
?i?(?1)m?n?1
?mn?(m2?n)a
4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数
p2122H????x2?2[解] 线性谐振子的哈密顿量
在动量表象中
P?P x?i???p
22?d122?????H?p22dp2?
??2?2?2d212???p??(p)?E?(p)?22?dp2??本征方程：?
??2?2?2d212???(p)?E?p????(p)?02?dp22???
??令
1???
??2E?? ???p
于是上面的方程可以写成
d2?(?)?(???2)?(?)?02d?
该方程在??????区域上存在有限解的条件是要求
??2n?1
?1??En??n?????2? n?0,1,2,?
本征函数：?n(p)?Nne??22p2Hn(?p)
1/2???Nn???n?2n!?? 归一化常数：
?n(p)?即
1?2n!???1/2ne?p22????p??Hn????????
4.4 求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元
[解] （方法一）在坐标表象中
ipx1??p(x)?e?2???1/2 动量算符的本征函数
?2d2122?H?????x22?dx2
在动量表象中
??Hp?p???*p?(x)H??p(x)dx??
iip?x?p2px1???122d2?????e????edx2?????2??dp??2?2
?p2122d2????2??2???dp2???(p?p?)??
212222d?(p????)?(p?p?)??dp2
（方法二） 在动量表象中
动量算符的本征函数
Cp?(p)??(p?p?)
22222p???d??H?2?2?dp2
?cp(p??)dp???)HHp?p??C*p?(p????
21?2222d??(p???p?)(p??????)?(p???p)dp??2????dp??2 2?1?2222d????(p??p)?p????2??2??dp?? 21?2222d????(p??p)?p????2??2??dp?
21?2222d??p???????p?p???2?2??dp??
?和Lz的共同表象中，算符Lx和4.5 设已知在L2???yL的矩阵分别为
?010??0?i0????2??2?L?i0?iLx?101????y22??0i0???? ?010?
L求它的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵Lx和y对角化 ?a??????b??2????c??xL?? 2[解] 设的本征值为 本征波函数为
于是，本征方程为Lx????
?010??a??a??????2?2????b??101??b??2?2??c??c?010?????? 即
（1）
0??a????1????1??1???b??0?0??c?1??????或
（2）
要使本征波函数不为零，亦即要求a,b,c不全为零，其条件是（2）中的系数无矩阵对应的久期方程行列式为零。
??101??1?001??当?1???1?2????3?2??0???2?0???3??2
2，由（2）有
b???2??a?10a??????2??1?21??b??0??????c?b?0??1?2c?????2 ??????b?????1??2?1??1?2??
1??2?1??1?2?2??
??1???*?1???1?b?,1,??b?2???2???b*b?12
b?12
2?1???1????2??1??1???1???2???2??1?2?1?????
当?2?0，由（2）有
?010??a??????b?0101b?0???????c??a?010??c????? ?1????2?a?0???1???
?1????*?2?2?aa(1,0,?1)?0??2a*a?1??1???
a?12
?1?1???2??0?2????1? ?
?2??1??0????2当3，由（2）有
1210?a?????1??b??0????2???c??a??????c????b2b2
??1?b???3??2?2????1?
??1???1?3???b*b(?1,2,?1)?2??2b*b?112?b???1???2
??1?1????3??2?2????1?
最后，Lx的对角矩阵，即Lx在自身表象中的矩阵
???20?0??00???1?????2???????000?Lx???20??2???0??????0?200??3???? ??