讨论：由于几率分布与n成反比，可看出能级愈低，几率愈大。当n?1时，几率
6Cn?
2960?6?0.999，故知粒子绝大部分可能处于这个态。
3.9 设氢原子处于状态
?(r,?,?)?R21(r)Y10(?,?)?学量的平均值。
[解]
3R(r)Y(?,?)2211?1
求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力
12n?2 l?1 m?0,?1
223??1???es4?es4??1?????E2??22n?2??2?222?n8?，出现的几率 ????能量可能值
平均值
E?E2???es48?2
223??1?????1?????22?22角动量平方的可能值 L?2?，出现的几率 ???
角动量平方的平均值
角动量z分量可能值
L2?2?2
0,??
2?1???角动量z分量出现的几率分别是 ?2??3????2?? 和?2133Lz?0??????444 角动量z分量的平均值
3.10. 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
??U(r)???0r?ar?a
求粒子的能级和定态波函数
??(r)?0 r?a[解]：在区域
2?????2H2? 在r?a区域内，体系的哈密顿算符为
?22???(r,?,?)?E?(r,?,?)本征方程：2?
1??2??1????1?2??2?r???sin???22r?r??r?r2sin???????rsin???2 2?E?2?2? 令
2（1）
于是，方程（1）可以写成
?1??2??1????1?2?2?r2?r?r?r??r2sin????sin?????r2sin2???2??(r,?,?)????(r,?,?)??????
设 ?(r,?,?)?R(r)Y(?,?)，代入上式，可得
1??2?1?1????1?2??2R(r)???r???Y(?,?)?r?sin???22?R?r??rYsin?????sin????????
上式左边仅与r有关，右边仅与?,?有关，r,?,?是互为独立的变量，要使上式成立，两边应等于同一常数。当考虑到以上方程在区域0????内的解有限，此常数只能取
l(l?1) l?0,1,2,?
1???Y?1?2Y?l(l?1)Y?0?sin???22sin?????sin?????所以，有
d2drR(r)?2rR(r)??2r2?l(l?1)R(r)?02drdr
2（2）
??（3）
方程（2）是球面方程，其解为
mYlm(?,?)?NlmP?)eim?l(cosl?0,1,2,?m?0,?1,?2,?
方程（3）是球贝塞尔方程。 令x??r
R(r)?1y(x)x
方程（3）可以写成
22?dydy1???22x?x??x??l???y?0dx2dx??2????
方程（4）是
l?1212阶贝塞尔方程，其通解
?1???l???2?y(x)?c1Jl?(x)?c2J(x)
因x?0，
J?1???l???2?(x)??，所以含有奇异解
J1?(l?)2的项要弃去，即令2c?0，故球
贝塞尔方程（3）在x?0的邻域的有限解是所谓的球贝塞尔函数。
R(r)??J(?r)2?rl?12
粒子在r?a内的波函数
?(r,?,?)?C?J1(?r)Ylm(?,?)2?rl?2
?Cjl(?r)Ylm(?,?)
利用波函数在r?a处的连续性，?(a,?,?)?0
?(a,?,?)?Cjl(?a)Ylm(?,?)
?C?J1(?a)Ylm(?,?)2?al?2?0
Jl?12(?a)?0
由此可以选择本征值，由于对每一个给定的
l?12值，贝塞尔函数有无穷多个零点
?1??l??????2???1???nr??1,2,3,??l?2??????n??r，我们得到无穷多个值。
?1??l?2???nr??1??l?2???nr??a
nr?1,2,3,?
2和无穷多个能极：
1???2?l?2???2??2??l?1???2???nr???????????nr2??a?2?a??????
??Enr,l???2???2?1??l?2???nr????2
3.11. 求3.6题中粒子位置和动量的测不准关系(?x)2?(?p)2??
[解]：
1?A2?(x)?A?sinkx?coskx??1?coskx?cos2kx???2??2A2?(x)?1?cos2kx?cos22kx?2coskx?2cos2kx?2coskxcos2kx4
2??A2?31???2?coskx?cos2kx?cos3kx?cos4kx?4?22? A2??4?2coskx?3cos2kx?2cos3kx?cos4kx?8
?L2L?2?(x)dx?2A822321??4x?sinkx?sin2kx?sin3kx?sin4kx??k2k3k4k???L2L2
A2?4kL343kL1???4L?sin?sinkL?sin?sin2kL?8?k2k3k22k? ?B?A2A2?2/L?1???L?1?B/L??1?L? 2
1kL313kL1B?sin?sinkL?sin?sin2kLk24k3k28k其中
x??x?(x)dx?0x??x2?(x)dx212L?22L2L?22 （被积函数为奇函数）
A2L??2Lx2(4?2coskx?3cos2kx?2cos3kx?cos4kx)dx8?2
因为
?L2L?2LL122x2xconxdxs?xsinnxL??2Lsinnxdx?n?n22 2LL2nL22?sin?2xcosnx2L?2?cosnxdx?2n2n2n
L2nL4nL?sin?3sin2n2n2
?L24?nL???2n?n3??sin2??
?A2x?82?L3?L28?kL?3L2?L23?8?3kL???????sin??sinkL????kk3??4k2k3??3k27k3??sin232???????
??L21????8k?16k3??sin2kL????
A2?8??L3L2?kL313kL1??sin?sinkL?sin?sin2kL???3k24328?? ?1?kL383kL1?8sin?sinkL?sin?sin2kL??2227216k3??
L32?CD??A?1???3.8?LL3?
3?kL313kL1?C??sin?sinkL?sin?sin2kL?k?24328? 其中：
D??3?kL383kL1?8sin?sinkL?sin?sin2kL??k3?2227216?
dA?(x)???ksinkx?2ksin2kx?2又因为 dx
d2A2?(x)??k?coskx?4cos2kx?dx22
p??i???*(x)
L2L?2d?(x)?0dx（因被积函数是奇函数）
L2L?2?2d??(x)dx???*(x)?p???(x)p???(x)dx??2dx??
2*2L2L?2A22L???k?2L?1?coskx?cos2kx??coskx?4cos2kx?dx?42
2A222L75?53???k?2L??coskx?cos2kx?cos3kx?2cos4kx?dx??24222? 2A222?1?kL103kL????kL?5??6sin?7sinkL?sin?2sin2kL??8232?? ?kL?A222?G???kL?5??8L? ?1?kL103kL?G??6sin?7sinkL?sin?2sin2kL?k?232? 其中
(?x)2?(x?x)2?x2?x?x2 ??p)2?p2?p?p2 (?p)?(p222?(?x)2(?p)2?x2p2