??1(x)?Asin(?x??)???(x)???2(x)?Be?x??(x)?ce??x??3x?ax??ax?a
d?(x)由波函数?(x)及其一阶微商dx，在x??a，x?a处连续，即
?2(?a)??1(?a)：Be??a?Asin(??a??)
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
?3(a)??1(a)： ce??a?Asin(?a??)
?(?a)??1?(a)：?Be??a?A?cos(??a??) ?2?(a)??1?(a)：??ce??a?A?cos(?3?a??)
由（1）、（3）两式，可得?ctg(??a??)?? 由（2）、（4）两式，可得?ctg(?a??)???
比较（5）式和（6）式，?ctg(??a??)?ctg(?a??)
?a????a???2k? ??k? k?0,?1,?2,? ??a????a????(2k?1)??(2k?1)2 k?0,?1,?2,?
将
??0,?2分别代入（5）式（或（6）式）
（7）
?ctg?a??? (??0)
(??)?tg?a?? 2
将?、?值代入（7）式和（8）式，则得到能量所满足的方程
?（8）
ctgatga2?EU0?E???2E 2?EU0?E??2E
（9）
（10）
由此可见，体系的能量值由超越方程（7）和（8）（或（9）和（10））解出，它们可以用如下图解法求解，令
x?a??a2?E?2
（11）
y?a??a2?(U0?E)?2
（12）
?22E?x22?a能级，就可以由以下曲线交点（如果有的话）获得，即分别求曲线方程组：
?xctgx??y?xtgx?y???222?U02?222?U02x?y?ax?y?2a???2??? 或
在x?0，y?0区域内的交点，如下图所示：
从图可以看到，束缚态的数目随园
x2?y2?R2(R2?2?U02a)?的半径R增加而增
22aUaU0是有限的，则束缚态的数目0加，即随乘积（“势阱参量”）的增加而增加，如果
也是有限的。
NN?1??R??22如果
[附]
求对应的本征波函数，为此将?(N?0,1,2,3,?)，则束缚态的数目是N?1个
?0代入（1）、（2）式，有
B??C
所以得到一组解
??1(x)?Asin?x???(x)???2(x)?Be?x??(x)??Be??x??3x?ax??ax?a
（13）
同理，将
????代入（1）、（2）式，有B?C，于是得到另一组解
x?ax??ax?a
（14）
??1(x)?Acos?x???(x)???2(x)?Be?x??(x)?Be??x??3第一组解是奇函数，第二组解是偶函数，因而体系的波函数具有确定宇称。这正是势场
U(?x)?U(x)所导致的必然结果。奇宇称解（13）对应由（7）式或（9）式确定的能 量E，
偶宇称解（14）对应由（8）式或（10）确定的能量E。
A、B为归一化常数，由归一化条件?
????(x)dx?12确定。
2.8 分子间的范德瓦尔斯力所产生的势能可以近似地表示
???U?U(x)??0??U1??0x?00?x?aa?x?bb?x
求束缚态的能级所满足的方程。
[解]：由于势函数U(x)不显含时间，因而，体系的波函数满足Schr?dinger方程
U(x)U0d2?(x)2???E?U(x)??(x)?0dx2?
代入势函数U(x)的形式，则
aU1bx?d2?(x)2??(x)?0?dx2??2?E?U0??2?d?(x)2??2?E?U1??(x)?0?2??dx?d2?(x)2??dx2??2E?(x)?考虑?U1?E?0的情形，令
0?x?aa?x?bx?a
?2?2?E2??U0?E?2???E?U1?22???0???0?01222???2，，
于是上述的微分方程组对写成
?d2?(x)2?dx2??1?(x)?0?2?d?(x)2???2?(x)?02?dx?d2?(x)2?dx???(x)?0?0?x?aa?x?bx?b
求解以上方程，并考虑到在x?0的区域内粒子出现的几率密度为零以及在x??，
粒子出现的几率为限值，于是粒子体系的波函数为
???1(x)?0x?0?(x)????(x)?Ae?1x?A?e??21x0?x?a??(x)?Bei?2x?B?e?i?2xa?x?b?3??(x)?Ce??x4
d?(x)利用?(x)及dx的连续性。
??A?A??0??Ae?1a?A?e??1a?Bei?2a?B?e?i?2a?Bei?2b?B?e?i?2b?Ce??b??A?e?1a?A??e??1a?iB?ei?2a?iB??e?i?1222a1??iB?i?2e2b?iB???i?2e2b???Ce??b
A,A?,B,B?,C不全为零的条件是：
1100000ei?2be?i?2b?e??b00i???i?b2ei2b?i?2e2b?e???0e?1ae??1a?ei?2a?e?i?2a0?1e?1a??1e??1a?i?2ei?2ai??2e?i2a0 i?2b1ee?i?2b?e??bei?2be?i?2b1i?2b?i?2b11i?2b?e?1a???1ai?2e?i?2e?e??b??1?i?ei?2ai??e?1a?e??1ai?2e?i?i?2e2bi?22e?i2a0?e2a?e?i?2a?2sh????e?bi?2ei2b?i??i?i?2e2b??be2be?i?2b?1a????i?i?2e2ai??i???e2e2a?i?2ei?ai??i?2e2a???
?i?b?i?i????a???e??bi?2e2?i?2e2b??be2be?i?2b?1ch?1??ei?2a?e?i?2a??e?ei?2a?e?i?2a???
?2?2(b?a)2sh?1a?ei?e?i?2(b?a)??i??2?ei?2(b?a)?e?i?2(b?a)?sh?1a
?e??b?e??b?00??i?1?2ch?1aei?2(b?a)?e?i?2(b?a)???1ei?2(b?a)?e?i?2(b?a)ch?1a
?????22sh?1asin?2(b?a)???2sh?1acos?2(b?a)??1?2ch?1acos?2(b?a)
???1ch?1asin?2(b?a)?0
?2??tg?2(b?a)?sh?1a??2????2tg?2(b?a)?1ch?1a
?2??tg?2(b?a)???2th?1a?1or ???2tg?2(b?a)
在E?0的情况下，体系处在非束缚状态，可以运动到无穷远处，因此体系的能量可以取大于零的任意连续值。
第三章 量子力学中的力学量
????(x)??????e??3.1. 一维谐振子处在基态
1U???2x22（1）势能的平均值;
1/2??2x21?i?t22，求
p2T?2?; （2）动能的平均值
（3）动量的几率分布函数。
[解]：（1）
?x??2????(x)x?(x)dx?*2??????x2e??xdx
22????2x21????2x2???2?xe??edx???????? 2?????1??3?2??2?2?2??
11?U???2x2???24
?p???(x)p?(x)dx????（2）
2?*2?????e??2x22?d2???2x?dx??i?dx2??e??
222????2?422??x????(?x??)edx?????22?4?????3????2???