dMz??Mz??????Mz??由于
2em??sin?2r?nlmd?dr?c
（CGS）
em??（2）
???0r?0?nlmr2sin?drd?2
em?r?2?22?rsin?drd?d?nlm???0002? em?2?????nlmd???2em?2?
（SI）
em?2?c
（CGS）
Lz?m? 所以有 ?e??Mz?2???Lz?e???2?c
（SI）
（CGS）
L2H?2I，L为角动量，求与此对3.5 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是
应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。 （1）转子绕一固定轴转动 （2）转子绕一固定点转动
?z??i??L?? [解]：（1）
222??Lz?????2
22?2L????z??H2I2I??2
?2?2??(?)?E?(?)2??(?)?E?(?)H2I??能量的本征方程： ，或
引入
?2?2IE?2
d2?(?)??2?(?)?02d??i???(?)?Ae
由波函数的单值性 ?(2???)??(?)
Aei(2???)??Aei?? ? ei2???1
2???2n? ? ??n n?0,?1,?2,? n2?2?En?in?2I，??Ae
A?其中
12?
?2L?H?2I，在球极坐标系中 （2）
2??1??1?????????Lsin????22??sin??????sin??????
??(?,?)?E?(?,?)H22体系的能量算符本征方程：
?2?1????1?2????(?,?)?E?(?,?)?sin???22?2I?sin???????sin????
?1????1?2??sin????sin?????sin2???2??(?,?)????(?,?)????
其中
??2IE?2，以上方程在0????的区域内存在有限解的条件是?必须取l(l?1)，
(l?0,1,2,?)，即 ??l(l?1) l?0,1,2,?
于是方程的形式又可写成
?1????1?2??sin????sin?????sin2???2??(?,?)??l(l?1)?(?,?)????
此方程是球面方程，其解为
l?0,1,2,??(?,?)?Ylm(?,?) m?0,?1,?2,?,?l
2IE???，可解得体系的的能量本征值 由??l(l?1)及
l(l?1)?2El?2I l?0,1,2,?
3.6 设t?0时，粒子的状态为
平均动能。
?2?(x)?A?sinkx?coskx??2??1，求此时粒子的平均动量和
[解]
1?A2?(x)?A?sinkx?coskx??1?coskx?cos2kx???2??2A?1ikx?ikx1i2kx?i2kx?1?e?e?e?e?2?2?2? A?2?eikx?e?ikx?ei2kx?e?i2kx4 ?
??????可见，?(x)是由五个动量不同的平面波迭加而成，将这些平面波与德布罗意波的一般
i?1??px?p(x)???e?2???式比较，各平面波对应的动量依次为
1/2p1?0p1?k?A2p3??k?p4?2k?A4p5??2k? C4?C5???2???1/2?A4
迭加系数依次分别为
C1??2???1/2?2C2?C3??2???1/2?由
5?ci?1iA? 求得
1??
11112?1?p??cipi?2??A2??0?k??k???2k??2k??16161616?4??0 i?1222??k???1k?(2k?)2(2k?)2?222p??cipi?2??A??0?????416161616i?1????
525?k2?24
T?
12522p?k?2?8?
3.7. 一维运动的粒子处在
?Axe??x,?(x)???0,的状态，其中?当x?0当x?0
?0，求：
（1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。
[解] 首先将?归一化，求归一化系数A。
1???*?dx??A2x2e?2?xdx00??
?12?2?x?1??2?x?A2?A??xe2xedx??0??02??2???2??0xe?2?xdx
A2?2?x??2xe2??0A2?34?
?A?2?3/2
?2?3/2xe??x,当x?0?(x)??当x?0 ?0,（1）动量的几率分布函数是
?i(Et?px)?c(p,t)?(2??)注意到eiEt??1/2????(x)edx
中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有
?12c(p,t)?(2??)?????(x)exei?px?dxdx
?A(2??)?12??0i?(??p)x?
i??y????p?x,???令
代入上式得
12i??dy????p?dx?? ??ic(p,t)?A(2??)(??p)?2?ye?ydy0?
?i????p??A2?3?????2i???2??(??p)2p2???????2????
w(p,t)?c(p,t)
22i??i????p??p?????*2?3???????p??cpcdp?pdp4?????222????p/?（2）
22??2?3?????????2?p2/?2?pdp2?3?3?dp2???????2?2?p2?2
??3?31???0??2?2?p2??
动量p的平均值量是?p和是
p?0的结果从物理上看是显然的，因为对本题c(p,t)说来，粒子动
p的几率是相同的。讨论：
113/22??2????①一维的傅里叶变换的系数是而不是。
②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时，即相当于t?0的情况，变换式的形式保持不变。
③不难证明，若?(x)是归一化的，则经傅里叶变换得到c(p)也是归一化的。 3.8．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数
?(x)?Ax(a?x)
描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。 [解] 先把波函数归一化，求归一化系数A。
1????dx??*0aa05?a5a5a5?2aAx(a?x)dx?A??5?2?3???A30?? 2222故
A?30a5
2n??Cnsinxaa
??(x)??Cn?n(x)?*Cn???n?dx?而
302an?x(a?x)sinxdx5?0aaa
?215?a3a32a3nnn??(?1)?(?1)?(?1)?1??a?n?n?n3?3?
???4151?(?1)n33n?
?960,当n为奇数2240??661?(?1)n??n6?6n??当n为偶数 ?0,??能量的几率分布为
2Cn??能量的平均值为
960?2?n???2480?1E??CnEn??66????24?4n?2??a??a?n?1,3,?n
221?45??E?2?496 故?a 由于 n?1,3?n?