种转化，光子的波长最大是多少？
mc[解] 由能量守恒定律，光子的能量h?转化为电子的静止能量e2
h??mec2
me为电子的静止质量
?34h6.62559?10????mec?9.1?10?31?2.998?108m
c?2.43?10?12m?2.43?10?2A?
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1 证明在定态中，几率流密度与时间无关。
t???iE??(r,t)??(r)e[证]：在定态中，波函数可写成：
it?*???(r,t)??(r)e并由此有：
*E?i?????j?[?(r,t)??*(r,t)??(r,t)??(r,t)]2?代入几率流密度的定义式 ?i?????j?[?(r)??*(r)??*(r)??(r)]2?则有： ?即 j仅是空间坐标(x,y,z)的函数，与时间无关。
2.2 由下列两定态波函数计算几率流密度。
（1）
?1?eikr1r （2）
?2?e?ikr1r
从所得结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内（即向原点）传播的球面波。
[解] 因
?1?eikr?1*?e?ikr，
1r1r
??1?r1?r*??*??1??ik???1??1???ik???1r?r r?r ??则
?i?j?[?1??1*??1*??1]2?所以
???上述结果说明j的方向沿矢经r的方向，即几率沿r方向向外流动，所以?1表示向外
传播的球面波。
??i???1?r1r??**???ik????ik???????2??r?r11?r?r11????
?k?r??r3
??k?rj??3?r（2） 与（1）类似，求得
??此结果表明j的方向沿矢经r的负方向，即几率流流向原点，所以?2表示向内传播的
球面波。
2.3 一粒子在一维势场
???U(x)??0???x?00?x?ax?a
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 [解]：由于势函数U(x)不随时间变化 体系的状态波函数满足定态Schr?dinger方程
0ax?22???(x)?U(x)?(x)?E?(x)2m 其中m表示粒子的质量。
?2d2??(x)?U0?(x)?E?(x)(U??) (x?0,x?a) 2mdx2 0?2d2??(x)?E?(x)2mdx2 0?x?a
2m(U0?E)2mE???0??22?? 令
2（1）
d2?(x)??2?(x)?02dx (x?0,x?a) d2?(x)??2?(x)?02dx (0?x?a)
（2）
（3） （4）
?(x)?e?x x?0
?(x)?e??x x?a ?(x)?Asin?x?Bcos?x 0?x?a
当
（5） （6）
U0??时，???，由（4）式和（5）式有
（7）
?(x)?0 (x?0,x?a) ?(0)?B?0
?(a)?Asin?a?Bcos?a?0
由此得 A?0 sin?a?0
根据波函数的连续性，（6）式和（7）式所表示的波函数分别在x?0和x?a处连续：
?a?n? n?1,2,3,?
??n?a
代入（1）式中的第一式，可得体系的能量：
n2?2?2E?2ma2 n?1,2,3,?
即粒子在势阱中运动的能量只能取分立值，对应的波函数：
?n(x)?Asinn?xa
由波函数的归一化条件
??*(x)?(x)dx?1A?，求得
2a
??n(x)?
2n?sinxaa
1a
A??2.4 证明（2.6—14）式中的归一化常数
[证] 已知（2.6—14）式的形式
??n??Asin(x?a)2a?n(x)???0??2x?ax?a
由波函数的归一化条件
????dx?1，有：
A??sin2?aan?(x?a)dx?aA?2?12a
A??所以
1a
2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置
[解] 由谐振子状态波函数
?n(x)??????en?2?n!?1/2??2x22Hn(?x)
得到振子在点x处出现的几率密度
?n(x)??(x)?2???x2eH(?x)nn2?n!
2当n?1时，H1(?x)?2?x
?1(x)?2?3?x2e??22x
?1d?1(x)x???0x???? ?， or 由 dx 有
x??即振子处在第一激发态时几率最大的位置
2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(x)?U(?x)，试证明粒子的定态波
函数具有确定的宇称。
[证]：由于势函数U(x)与时间t无关，粒子的波函数?(x)满足定态Schr?dinger方程：
??? ?2d2??(x)?U(x)?(x)?E?(x)22?dx
其中?是粒子的质量。将空间反演：x??x
（1）
?2d2??(?x)?U(?x)?(?x)?E?(?x)2?dx2
因为 U(?x)?U(x) 所以（2）式可以写成
（2）
?2d2??(?x)?U(x)?(?x)?E?(?x)2?dx2
（3）
?(x)和?(?x)都是体系哈密顿算符本征方程属于同一本征值E的解，描写同一因而，
个状态，它们之间只可能相差一常数?
?(?x)???(x)
引入空间反演算符，写成：
??(x)??(?x)???(x)I
空间再反演一次，有
?2?(x)??2?(x)?(x)???(?x)??2?(x) 写成：I
则有 ?2?1 或 ???1
所以 ?(?x)??(x) （对称的，即具有偶宇称）
?(x) （反对称的，即具有奇宇称） ?(?x)??由此证得在一维势场中运动的粒子，当U(?x)?U(x)时，粒子的波函数具有确定宇称。
U(x)2.7 一粒子在一维势阱
U0Ⅱ I III ??U0?0U(x)????0运动，求束缚态（
x?ax?a
?a a 0?E?U0）的能级所满足的方程
[解] 因U(x)与时间无关，体系的波函数?(x)满足定态Schr?dinger方程：
d2?(x)2??2[E?U(x)]?(x)?0dx2?
d22??(x)?E?(x)?022x?a dx?即
d22??(x)?(U0?E)?(x)?022x?a dx?
令 在
?2?2?E2?(U0?E)2???2 ?2
0?E?U0的情况下，?，?均为实数。以上方程可简写成
d2?(x)??2?(x)?02x?a dx d2?(x)??2?(x)?02x?a dx
方程的解为：