第一章． 波动方程
§1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x,t)满足方程
???u????u????x????E? ?t??t??x??x?其中?为杆的密度，E为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与x??x。现在计算这段杆
在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：
x?u(x,t);x??x?u(x??x,t)
其相对伸长等于 令
[x??x?u(x??x,t)]?[x?u(x,t)]??x?ux(x???x,t)
?x?x?0，取极限得在点x的相对伸长为ux(x,t)。由虎克定律，张力T(x,t)等于
T(x,t)?E(x)ux(x,t)
其中E(x)是在点x的杨氏模量。
设杆的横截面面积为S(x),则作用在杆段(x,x??x)两端的力分别为
E(x)S(x)ux(x,t);E(x??x)S(x??x)ux(x??x,t).
于是得运动方程 ?(x)s(x)??x?utt(x,t)?ESux(x??x)|x??x?ESux(x)|x 利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得
?(x)s(x)utt?若s(x)?常量，则得
?(ESux) ?x?2u??u?(x)2=(E(x))
?x?x?t即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在x?0,x?l两点则相应的边界条件为
u(0,t)?0,u(l,t)?0.
(2)若x?l为自由端，则杆在x?l的张力T(l,t)?E(x)的边界条件为
?u|x?l等于零，因此相应?x?u|x?l=0 ?x同理，若x?0为自由端，则相应的边界条件为
?u∣x?0?0 ?x(3)若x?l端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的
偏移由函数v(t)给出，则在x?l端支承的伸长为u(l,t)?v(t)。由虎克定律有
E?u∣x?l??k[u(l,t)?v(t)] ?x?uk??u)∣x?l?f(t) 其中??
E?x其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件
(特别地，若支承固定于一定点上，则v(t)?0,得边界条件
(?u??u)∣x?l?0。 ?x同理，若x?0端固定在弹性支承上，则得边界条件
?u∣x?0?k[u(0,t)?v(t)] ?x?u即 (??u)∣x?0?f(t).
?x E?x2?ux2?2u[(1?)]??(1?)3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 E 2?xh?xh?t其中h为圆锥的高(如图1)
证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x点处截面的半径l为：
l?1?xhx h2所以截面积s(x)??(1?)。利用第1题，得
x2?2u?x2?u?(x)?(1?)?[E?(1?)]
h?t2?xh?x若E(x)?E为常量，则得
?x2?ux2?2uE[(1?)]??(1?) 2?xh?xh?t4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡
位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为?，则x点处的张力T(x)为
T(x)??g(l?x)
且T(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x??x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为
?g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x)
其中?(x)表示T(x)方向与x轴的夹角
又 sin??tg??于是得运动方程
?u ?x.?2u?u?u ??x2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣x?g
?x?x?t利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得
?2u??u?g[(l?x)]。 2?x?x?t5. 验证 u(x,y,t)?1t2?x2?y2在锥t?x?y>0中都满足波动方程
222?2u?2u?2u1222??u(x,y,t)?t?x?y证：函数在锥>0内对变量222222?t?x?yt?x?yx,y,t有
3?u??(t2?x2?y2)2?t 二阶连续偏导数。且
??t?u?t22??(t2?x2?y2)??32?3(t2?x2?y2)?52?t2
?(t2?x2?y2)32?(2t2?x2?y2)
??u2222?(t?x?y)?x ?x3?2u?x
2?t2?x2??3?y22??3t2?x2??5?y22x2
?
???2x2?y2?
5??2u同理 ??t2?x2?y2?2?t2?x2?2y2?
2?t2?x2??5?y22t2?y所以
?2u?x2??2u?y2?t?x??225?y22??2t2?x?y22???t2.
?2u即得所证。
6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力) 与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.
解: 利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段?x,x??x?上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为?b?u,故?x,x??x?上所受摩阻力为 ?t?u?b?p?x?s?x???x?t
运动方程为:
??x?s?x??x??2u?u?u??u??ES??x??x?ESx?b???x?s?x??x
?x?t??t??t2利用微分中值定理，消去?x,再令?x?0得
?2u???u??u??x?s?x?2?. ?ES??b??x?s?x??t?x??x??t若s(x)?常数，则得
?2u???u??u??x?2??E??b??x?
?x??x??t?t,E?x??E也是常量.令a?若 ??x???是常量22?2u?u2?u?b?a.
?t?t2?x2E?,则得方程
§2 达朗贝尔公式、 波的传抪
1. 证明方程
22???x??u?1?x??2u?h?0常数? ??1????2?1??2?x???h??x??a?h??t
的通解可以写成
u?F?x?at??G?x?at?
h?x其中F,G为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
t?0:u???x?,解：令?h?x?u?v则
?u???x?. ?t?v??h?x??u?u??v,?h?x?2?u??h?x???u??
?x?x?x??x???v?u?2v2?u2?u[(h?x)??(u?)?(h?x)?(h?x)?(h?x)(u?2)
?x?x?x?x?x?x?2u?2v又 ?h?x?2?2
?t?t代入原方程，得
?2v1?2v?h?x?2?2?h?x?2
?xa?t?2v1?2v?22 即 2?xa?t 由波动方程通解表达式得
v?x,t??F?x?at??G?x?at?
所以 u?为原方程的通解。
由初始条件得
F?x?at??G?x?at?
?h?x?1?F?x??G?x??h?x1??x???aF/?x??aG/?x?
h?x??x??(1)
??1????d??c所以 F?x??G?x??????h?ax0由(1),(2)两式解出
x(2)