11c ????F?x???h?x???x????h??d???22ax2ox
11c G?x???h?x???x?? ??????h??d???22ax2ox所以 u(x,t)?1[(h?x?at)?(x?at)?(h?x?at)?(x?at)]
2(h?x)x?at1+(h??)?(?)d?. 2a(h?x)?x?at即为初值问题的解散。
２．问初始条件?(x)与?(x)满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成？
解：波动方程的通解为
u=F(x-at)+G(x+at)
其中F，G由初始条件?(x)与?(x)决定。初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对 于任何x,t有 G(x+at)?常数.
即对任何x, G(x)?C0
又 G（x）=?(x)?所以?(x),?(x)应满足
121xC ?(?)d??2a?x02a1x?(?)d??C1（常数） ?x0a1'或 ?(x)+?(x)=0
a ?(x)?3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）
2??2u2?u?2?a2?t?x??ux?at?0??(x) ??(0)??(0)? ?u??(x).?x?at?0?
解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 ?(x)=F（0）+G（2x） 令 x+at=0 得 ?(x)=F（2x）+G(0)
所以 F(x)=?()-G(0). G（x）=?()-F(0). 且 F（0）+G(0)=?(0)??(0). 所以 u(x,t)=?(x2x2x?atx?at)+?()-?(0). 22即为古尔沙问题的解。
4．对非齐次波动方程的初值问题
2??2u2?u(t?0,???x???)???t2?a?x2?f(x,t) ?
?u?t?0,u??(x),??(x)(???x???)??t?证明：
（1） 如果初始条件在x轴的区间[x1,x2]上发生变化，那末对应的解在区间[x1，
x2]的影响区域以外不发生变化；
（2） 在x轴区间[x1,x2]上所给的初始条件唯一地确定区间[x1,x2]的决定区 域中解的数值。
证：（1） 非齐次方程初值问题的解为 u(x,t)=[?(x?at)??(x?at)]?x?a(t??)1f(?,?)d?d?. +??x?a(t??)2a0t121x?at?(?)d?? ?x?at2a当初始条件发生变化时，仅仅引起以上表达式的前两项发生变化，即仅仅影晌到相应齐
次方程初值的解。
当?(x),?(x)在[x1,x2]上发生变化，若对任何t>0,有x+at
之外，解u(x,t)不发生变化。 （1）得证。
(2). 区间[x1,x2]的决定区域为 t?0,x1?at?x?x2?at 在其中任给（x,t）,则
x1?x?at?x?at?x2
故区间[x-at,x+at]完全落在区间[x1,x2]中。因此[x1,x2]上所给的初绐 条件?(x),??(x)代入达朗贝尔公式唯一地确定出u(x,t)的数值。
5. 若电报方程
uxx?CLutt??CR?LG?ut?GRu
?C,L,R,G为常数?具体形如
u?x,t????t?f?x?at?
的解（称为阻碍尼波），问此时C,L,R,G之间应成立什么关系？
解
u?x,t????t?f?x?at? uxx???t?f???x?at?
ut????t?f?x?at??a??t?f??x?at?
utt?????t?f?x?at??2a???t?f??x?at??a2??t?f???x?at?
代入方程，得
?CLa?1??t?f???x?at???2aCL???t??a?CR?LG???t??f??x?at?
??CL????t???CR?LG????t??GR??t???GR??t?f?x?at??02?由于f是任意函数，故f,f?,f??的系数必需恒为零。即
?CLa2?1?0? ?2CL???t???CR?LG???t??0?CL????t???CR?LG????t??GR??t??0?CL?1 2a于是得
u??t?a2?CR?LG? ??u?t?2所以
u?t??c0e?a2?CR?LG?t2
代入以上方程组中最后一个方程，得
a4a22?CR?LG?2?GR?0 CL??CR?LG??42又
a2?112,得?CR?LG??GRCL CL4
即
?CR?LG?2?0
最后得到
CG? LR6．利用波的反射法求解一端固定并伸长到无穷远处的弦振动问题
?utt?a2uxx??ut?0???x?,utt?0?0??x??0?x??? ?u?0,t??0?t?0??11u?x,t?????x?at????x?at???????d?。 ?at22ax?x?at
解：满足方程及初始条件的解，由达朗贝尔公式给出：
由题意知??x?,??x?仅在0?x??上给出，为利用达朗贝尔解，必须将??x?,??x?开
拓到???x?0上，为此利用边值条件，得
10????at????at????????d?。
2?atat因此对任何t必须有
??at??????at?
at
?at?????d??0
即??x?,??x?必须接奇函数开拓到???x?0上，记开拓后的函数为??x?,??x?；
x?0???x?,??x????????x?,x?0x?0???x?,??x???
x?0?????x?,x?at所以
11u?x,t?????x?at????x?at????????d?22ax?atx?at?11????d?,????x?at????x?at????22a?x?at??x?at1?1?2???x?at????at?x???2a?????d?,at?x?t?t?
x,x?0ax,x?0a。
2?2u?2u?2u?2??u?2?2?7．求方程2?a?形如u?f?r,t?的解（称为球面波）其中2???t?y?z???xr?
x2?y2?z2。
解：
u?f?r,t?
?u?u?r?ur???? ?x?r?x?rx?2u?2ux2?u?1x2???? ?2?2?23???r?rr??x?rr `
?2u?2uy2?u?1y2???? ?2?2?23???r?rr??y?rr?2u代入原方程，得
?2uz2?u1z2?2?2?(?3) 2?rrr?z?rr2?2u?u3x2?y2?z22?u ?a[2?(?)]
?rr?t2?rr32?2u2?u2?u即 ?a(??) 22r?r?t?r令 ru?v，则
?2u?2v?u?v?2u?u?2v r2?2,r ?u?，r2?2??r?r?r?r2?t?t?r代入方程，得 v满足
2?2v2?v?a 22?t?r故得通解 v(r,t)?F(r?at)?G(r?at) 所以 u?1[F(r?at)?G(r?at) r8．求解波动方程的初值问题
??2u?2u???t2??x2?tsinx ??u?u?0,|t?0?sinxt?0??t?x?ttx?(t??) 解：由非齐次方程初值问题解的公式得
11sin?d???sin?d?d? u(x,t)????2x?t20x?(t??)