3．证明波动方程
utt?a2(uxx?uyy)?f(x,y,t)
的自由项f中在L(K)意义下作微小改变时，对应的柯西问题的解u在L(K)意义之下改变也是微小的。 证：研究过(x0,y0,22R)的特征锥K a(x?x0)2?(y?y0)2?(R?at)2
令t?t截K，得截面?t，在?t上研究能量：
E(?t)???[ut2?a2(ux2?uy2)]dxdy
?t
R?at2?r???00[ut2?a2(ux2?uy2)]dsdrR?at2?r(r?(x?x0)2?(y?y0)2)
dE(?t)?2dt
?022222[uu?a(uu?uu)]dsdt?a[u?a(u?u)]dstttxxtyyttxy??0?t其中?t为?t的边界曲线。再利用奥氏公式，得
dE(?t)?2dt????tR?at2?r??ut[utt?a002(uxx?uyy)]dsdt
a2?[ut?a2(ux2?uy2)]?ds 2? ?2?a2[uxutcos(n,x)?uyutcos(n,y)]?
R?at2?r?2?022uf(x,y,.t)dsdr?a[(au?ucos(n,x))?(au?ucos(n,y))]dstxtyt??0?t
因为第二项是非正的，故
dE(t)?2dt所以
R?at2?rR?at2?r?0?utfdsdr?0?0?utdsdr?02R?at2?r??00f2dsdr
dE(t)?E(?t)???f2dxdy d?t?t
令 F(t)??t??f2dxdy
上式可写成
d?t(eE(?t))?e?tF(t) dtt即 E(?t)?E(?0)et?et??F(?)d?
?0t?E(?0)et?et???f2dxdyd?
0??Ra ?E(?0)e?ett???0??f2dxdydt
即 E??t??E??0?et?et???fK2dxdydt
研究 E0??t???t2??u?x,y,t?dxdy
dE0??t??2??uu1dxdy?a?u2ds dt??tt ?2?t??uu1dxdy???u?t2dxdy???ut2dxdy
?t ?E0??t??E??t?
所以 E0??t??E0??0?e?et??E??0?d?
tt?0
?E0??0?e??eE??0?d???ett00ttt???????K?fdxdydt?d???2?E0??0?et?tetE??0??tet???f2dxdydt
K为证明柯西问题的解的关于自由项的稳定性，只须证明柯西问题
2?u?auxx?uyy?f?x,y,t??tt ?utt?0?0??ut?0?0,??
??2?当f2????fdxdydt?L?K????K?12“很小”时，则解u的模uL2?K?也“很小”
此时，由始值utt?0?0，而由于ut?0?0得 uxt?0?0,所以 E??0??0, E0??t??tetuyt?0?0
E0??0??0，即
???Kf2dxdydt?tetf2 L2?K? uL2?K??2Ra0?E0??t?dt?fReaR?ea2L2?K?Ra0tte?dt
?f2?2L?K???R?a???M2f??2 L2?K?故任给??0，当f2，则uL2?K???得证 ?L?K?M4．固定端点有界弦的自由振动可以分解成各种不同固有频率的驻波(谐 波)的迭加。试计算各个驻波的动能和位能，并证明弦振动的总能量等于各个驻波能量的迭加。这个物理性质对应的数学事实是什么？
解：固定端点有界弦的自由振动，其解为
u?2?an?an??u?Acost?Bsin?n??nnll?n?1n?1??n??t?sinx
l?每一个un是一个驻波，将un的总能量记作En，位能记作Vn，动能记作Kn，则
an?an??2Vn??a2unxdx?a2??Ancost?Bnsinll00?an?an??1?an?????t?Bnsint?? ??Ancoslll????222ll??n??2n?t??cosxdx ?l??l?22?an??2Kn??untdx???l??02l2lan?an???2n??Asint?Bcostsinxdx ??n??nlll?022an?an??1?an?????t?Bncost?? ???Ansinlll????2
总能量 En?Vn?Kn?an??22?A?B2? ?2lnn由此知En与t无关，即能量守恒，En?t??En?0?。
现在计算弦振动的总能量，由于自由振动能量守恒，故总能量E?t?亦满足守恒定律，即
E?t????u0ll2t2?a2uxdx?E?0?
?即 E?t????ut022?a2ux?t?0dx
又由分离变量法，An、Bn由始值决定，且
ut?0ln???Ansinx,utln?1l??t?0??an?n?Bnsinx lln?1?所以
?ut02t?0?an?n?an?n?dx??(?Bnsinx)?(?Bnsinx)dx
lllm?1l0n?1利用?sin??n?ll?x?在[0,l]上的正交性，得 ?
l?ut02?an?22(an?)222n?dx??(?()Bnsinxdx??Bn
t?0ll2ln?10n?1?ll同理
?02ux??n?n?dx????Ancos?t?0ll0?n?1??????m?m?x????Amcos??l??m?1l?x?dx ???n??22l?2An
?n?1所以 E?t????an??2?A2?B2??2lnnn?1?E。
n?1即总能量等于各个驻波能量之和。
这个物理性质所对应的数学意义说明线性齐次方程在齐次边界知件下，不仅解u具有可
2加性，而且ut2dx及uxdx仍具有可加性。这是由于?sinll?0?0??n??x?的正交性所决定的。 l?5.在??c,??c的情况下，证明定理5，即证明此时波动方程柯西问题存在着唯一
22
的广义解，并且它在证理4的意义下是稳定的。
2证：我们知道当??c,??c，则波动方程柯西问题的古典解唯一存在，且在L(K)32意义下关于初始条件使稳定的（定理3、4）
今??c,??c，根据维尔斯特拉斯定理，存在{?n}?c,{?n}?c, 当n??时
2132?n及其一阶偏导数?nx,?ny分别一致收敛于?,?x及?y,?n一致收敛于?。
记：?n,?n为初始条件的柯西问题的古典解为un，则un二阶连续可微，且在L(K)意
2（?0）（?0：特征锥义下un关于?n,?n是稳定的。{?n},{?n}为一致连续序列，自然在L
K与t?0相交截出的圆）意义下为一基本列，即m,n?N时
?m??nL2(?0)2?? , ?mx??nxL2(?0)L2(?0)?? ??
?my??ny根据?un?的稳定性，得
?? , ?m??nL2(?0)?um?un2L(K)2?(???(um?un)2dxdydt)2??
K即?un?在L(K)意义下为一基本列，根据黎斯—弗歇尔定理，存在唯一的函数u,使当
n??时
u?unL2(K)?0
u即为对应于初始条件?,?的柯西问题的广义解。
现在证明广义解的唯一性。 若另有?n?c,?n?c??3??2，当n??时?n??,?nx??x,?ny??y且
?n??是一致的，其所对应的古典解un?u(按L2(K)), 现在u?u, 用反证法，
若u?u，研究序列
?1,?1,?2,?2,??n,?n,? (1)
?1,?1,?2,?2,??n,?n,? (2)
则序列（1）及其对x和y的偏导数仍分别一致收敛于?,?x,?y, 序列（2）仍为一致收敛于?，利用古典解关于初始条件的稳定性，序列（1）(2)所对应的古典解序列 u1,u1,u2,u2,?,un,un,?