?43223ds?[4?r(x?yz)?4?r??rz]r?at??r3MSat
1?4?at[x2?y2z?xa2t2?a2t2z]3u(x,y,z)=
?1? ????t4?aMrSat
?31[tx?ty2z?xa2t3?a2t2z] ?t3?x3?y2z?3a2t2x?a2t2z?即为所求的解。
2． 试用降维法导出振动方程的达朗贝尔公式。 解：三维波动方程的柯西问题
2??utt?a(uxx?uyy?uzz) ???ut?0??(x,y,z),utt?0??(x,y,z)当u不依赖于x,y,即u=u(z),即得弦振动方程的柯西问题：
2??utt?auzz???ut?0??(z),ut
t?0??(z)
利用泊松公式求解 u??1?1?{ds}?ds ???t4?a??r4?arMMSatSat因只与z有关，故
MSat??r?2??ds???00?(z?atcos?)at?(at)2sin?d?d?
2??
??d???(z?atcos?)atsin?d?
00令z+atcos =?,-atsin d =d ?得 所以
??rds?2???(?)d?
MSatz?at?z?at
?11u(z,t)??(?)d???at?at?(?)d? ?t2az?2az?z?atz?atz?at
11?{?(z?at)??(z?at)}??at?(?)d? 22az?即为达郎贝尔公式。
3. 求解平面波动方程的柯西问题：
2??utt?auxx?uyy?2??u|t?0?x?x?y???ut|t?0?0
解： 由二维波动方程柯西问题的泊松公式得：
?1?? u?x,y,t???2?a??t??m?at????,??at????x?????y?2222d?d?
??at??m???,??a2t2????x?????y?22??d?d??
??1? ?2?a?tat2???00??x?rcos?,y?rsin??at?r2222rdrd?
又 ??x?rcos?,y?rsin????x?rcos??x?y?rcos??rsin??
?x?x?y??2x?x?y?rcos???x?y?rcos?
222 ?xr?cos??sin???2xr?cos??sin??cos?
22 ?rcos??cos??sin??
322?2?2?2因为
sd??0,?sin?d??0,?cos?d??? ?co?0002?2?32?2sin?cos?d??0,cos?d??0,cos????sin?d??0. 000
at2?所以
??00??x?rcos?,y?rsin??at?r2222rdrd?
at ?2?x?x?y??0atrdrat?r222???3x?y??0r3drat?r222
at又
?0atrdra2t2?r2at??a2t2?r2|0?at
?0r3dra2t2?r2at??r2at?r|?2?a2t2?r2rdr
0222at03222222a ???at?r?|0?a3t3
33于是 u?x,y,t??21??233?2?2?ax?x?y???a?3x?y??
2?a?t?3?22 ?x?x?y??at?3x?y? 即为所求的解。
4. 求二维波动方程的轴对称解（即二维波动方程的形如u?u?r,t?的解，
r?x2?y2).
解： 解法一：利用二维波动方程柯西问题的积分表达式
u?x,y,t??
1?[2?a?t???at?????x?????y??m???,??d?d?222att????at?????x?????y??m???,??d?d?2
22]`att由于u是轴对称的u?u?r,t?,故其始值?,?只是r 的函数，，u?|t?0???r?,
ut|t?0???r?,又?at为圆???x?????y??a2t2.记圆上任一点p??,??的矢径为?
m22???2??2圆心M(x,y)其矢径为r?x2?y2记s?222???x?????y?则由余弦
22定理知，??r?s?2rscos?，其中?为oM与Mp的夹角。选极坐标(s,?)。
?r ???,??????????r ???，?????????于是以上公式可写成
2?s2?2rscos? ?s22??2rscos??
?at?2?s21??? u?x,y,t??2?a??t?at2???00?r2?s2?2rscos???sdsd?
at2???0?0?r2?s2?2rscos???at?2?s2?sdsd???
?由上式右端容易看出，积分结果和(r,t)有关，因此所得的解为轴对称解，即
1?at2??r2?s2?2rscos?[??sdsd? u(r,t)?00222?a?t(at)?sat2? +
??00?(r2?s2?2rcos?(at)?s22sdsd?]
解法二：作变换x?rcos?,y?rsin?.波动方程化为
2?2u1?u2?u?a(??) 22r?r?t?r用分离变量法，令u(r,t)=R(r)T(t).代入方程得
\2??T?a?t?0 ?
2\'2??rR?rR??rR?0解得：
??T(t)?A?cosa?t?B?sina?t ?
??R(r)?J0(?r)令???叠加得
? u(r,t)?(A(?)cos??t?B(?)sin??t)J0(??)du
0?5.求解下列柯西问题
?vtt?a2(vxx?vyy)?c2v? ? ?v??(x,y)?vt?0??(c,y),?rt?0?[提示：在三维波动方程中，令u(x,y,z)?ev(x,y,t)] 解：令 u(x,y,z,t)?则 utt? uzz?czeavczaczeav(x,y,t)
xx,uyytt,uxx?czeav?czeavyy
c2a2czeav
代入原问题，得
?utt?a2(uxx?uyy?uzz)? ? czczaa?u?t?0?e?(x,y),utt?0?e?(x,y)c?c??(?,?)?11aea?(?,?)eu(x,y,z,t)?{ds}?ds ????rr?t4?aSM4?aSMatatMSat:(??x)2?(??y)2?(??z)2?a2t2
记Sat为上半球，Sat为下半球，
M?M??Mat为Sat在?o?平面上的投影。
Mds?atat?(??x)?(??y)2222d?d?,则
S??Matc?ea?(?,?)rds?S??c?1ae?(?,?)ds?M?atrM?Sat??c?1ae?(?,?)ds
r??at??Mec(z?a2t2?(??x)2?(??y)2)a22at?(??x)?(??y)c(z?a2t2?(??x)2?(??y)2)a222?(?,?)d?d?
??at??Meat?(??x)?(??y)ch?at222?(?,?)d?d?
?2ecza??Mca2t2?(??x)2?(??y)2a?(?,?)d?d? 2222at?(??x)?(??y)?2ecz2?ata??00cchc2t2?(r)2aat?r222?(x?rcos?,y?rsin?)rdrd?
所以 u(x,y,z)??1{e?t2?ac222chct?(r)cz2?ataa??00at?r222?(x?
rcos?,y?rsin?)tftf?}?
cchc2t2?(r)2aat?r2221e2?acz2?ata??00?(x?rcos?,y?rsin?)rdrd?