又E(t)是减少的，故当t?0,E(t)?E(0)?0,又由E(t)的表达式知E(t)?0, 所以
E(t)?0 由此得ut?0,及ux?0,于是得到
u?常量
再由初始条件u|t?0?0,得u?0,因此u1?u2,即混合问题解的唯一的。
3.证明解关于初始条件的稳定性，即对任何?.?0,可以找到??0,只要初始条件之差
?1??2,?1??2满足
||?1??2||L2??,||?1x??2x||L2??,||?1??2||L2??
则始值(?1,?1)所对应的解u1及(?2??2)所对应的解u2之差u1?u2满足
||u1?u2||L2??
Tl或
??(u1?u2)002dxdt??
令 E0(t)?u2(x,t)dx
l?0dE0(t) ?2?u?utdx??u2dx??ut2dx
dt000 ?E0(t)?E(t) 即
llld?t(eE0(t)?e?tE(t) dtt积分得 E0(t)?etE0(0)?ete??E(?)d?
?0又E(?)?E(0),所以 E0(t)?eE0(0)?eE0(0)e??d?
ttt?0即 E0(t)?eE0(t)?(e?1)E(0)
tt~????，则u~????,?~?u?u满足 记?121212
?utt?a2uxx?cut? ?u|x?0?0,u|x?t?0
~?u|??~,u|??t?0tt?0?~2dx 则相对应地有 E0(0)??0?l E(0)?1?2?(?~2?a2?~2)dx
x?l1?2故若
~?L2~2dx??? ?~????x???0??l2~dx??? ???????0?1?2?lL2~2dx??? ?????x??0?~ ?L2则 E0?0???,E?0??1?a?
222于是 uL22??E?t???e??e?1??1?a???0tt2?2??2(对任何t)
即 uL2??
或 ??Tlu????002dxdt?????et?et?11?a2dt???/
?????0?1?2?T??????1?24? 解关于自由的稳定性
?utt?a2uxx?cut?f1?设u1?x,t?满足?u|x?0?0,u|x?l?0
?u|??,u|??tt?0?t?0?utt?a2uxx?cut?f2? u2?x,t?满足?u|x?0?0,u|x?l?0?u??,u|??tt?0?t?0?utt?a2uxx?cut??f1?f2??则u?u1?u2满足?u|x?0?0,u|x?l?0
?u|?0,u|?0tt?0?t?0今建立有外力作用时的量不等式?记f?f1?f2?
E?t??l??u0lt2?a2ux2dx
?dE?t? ?2?ututt?a2uxuxtdx dt0?? =2ututt?a2uxxdx
l?0??
=2?cut?utfdx0ll??l2???ul0tt?a2uxx?cut?f
?
?2?utfdx??ut2dx??f2dx?E?t??F?t?
00l其中F?t???0f2dx,故
t
E?t??E?0?et?et?e?tF???d?
0又E?0??0 由始值, 所以 E?t??et???eF???d??e??0Tttt2ed?f??dx 00t??l ?et??f002dxdt?K2et
由3中证明, 知
?E0?t??etE0?0??et?e??E???d?
0t而E0?0??0由始值 故 E0?t??eTt???eE??`?d??e??0T2tt2t2Kd??teK ?0t
?E0?t?dt??K00tetdt?K2?T?1?eT?1
??
Tl因此, 当 K?Tl??f002dxdt??,则
T2T??udxdt??T?1e?1?? 0??00T0l亦即当
??00l则(f1?f2)2dxdt??，
??0(u1?u2)2dxdt即解关于自由项是稳定的。 ??。
2．证明如果函数f(x,t)在G：0?x?l，0?t?T作微小改变时，方程
?2u?t2????u??k(x)??qu?f(x,t) ?x??x?（k(x)?0，q?0和f(x.t)都是一些充分光滑的函数）满足固定端点边界条件的混合问题的解在G内的改变也是很微小的。
?utt?(k(x)ux)x?qu?f?证：只须证明，当f很小时，则问题?u|x?0?0,u|x?l?0的解u也很小（按绝对
?u|?0,u|?0tt?0?t?0值）。
考虑能量 E(t)?(ut?k(x)ux?qu2)dx
l?022dE(t)??(2ututt?2k(x)uxuxt?2quut)dx dt0lll?????2?ututtdx??2k(x)uxut|?2?ut(k(x)ux)xdx???quutdx
0??00??0ll由边界条件 u|x?0?0，ut|x?l?0，故ut|x?0?0，ul|x?l?0。 所
以
lllldE(t)?2?ut(utt?(k(x)ux)x?qu)dx?2?ut?f(x,t)dx??ut2dx??f2dx dt0000l又由于k(x)?0，q?0，故utdx?E(t)，即
0?2dE(t)?E(t)??f2dx dt0l
d或 (E(t)e?1)?e?t?f2dx
dt0ll记 F(t)??0f2dx
l得 E(t)?E(0)et?et??F(?)d?
?0由初始条件 u|t?0?0，ut|t?0?0，
又因 u|t?0?0，得ux|t?0?0，故E(0)?0，即E(t)?et??F(?)d?
l?0若f很小，即f??，则f2??，故 F(t)???2d???2l
2l0E(t)??l?et??d???2l(et?1)??2l(eT?1)??2
202即在[0.T]中任一时刻t，当f很小时，E(t)??，又E(t)中积分号下每一项皆为非负的，
l故
22（对[0,T]中任一时刻t）今对0?x?l，0?t?T， k(x)udx??x?0l估计u(x,t)。
?u?u?u因为 u(x,t)?u(0,t)?? dx??dx??dx，应用布尼亚科夫斯基不等式，
?x?x?x000llll??u1?u???1dx??k(x)dx???k(x)dx?k(x)ux2dx??K? ?x?x??0k(x)0?0?1?2xxl可以得到
?0其中 K2??k(x)?1dx（因k(x)?0且充分光滑）
0l即 u(x,t)?u(0,t)?K?? 又由边界条件 u(0.t)?0，得u(x,t)?K??
即当 0?x?l，0?t?T，有u(x,t)很小，得证。