于是 v(x,y,t)???1???t?2?a?002?atcchc2t2?(r)2aat?r222?(x?
?rcos?,y?rsin?)rdrd???12?a2?at??00cchc2t2?(r)2aat?r222?(x?
?rcos?,y?rsin?)rdrd?
即为所求的解。
6．试用?4第七段中的方法导出平面齐次波动方程 utt?a(uxx?uyy)?f(x,y,t) 在齐次初始条件 u下的求解公式。
解：首先证明齐次化原理：若w(x,y,t,?)是定解问题
2??wtt?a(wxx?wyy) ?
??wt?o?0,wt??f(x,y,?)tt?02?0,utt?0?0
的解，则u(x,y,t)?w(x,y,t,?)d?即为定解问题
0?2??utt?a(uxx?uyy)?f(x,y,t) ?
??ut?0?0,utt?0?0的解。
显然，ut?0?0
tt?u?w?w?w(x,y,t,?)??t??d???d? ?t?t?t00 （ wt???0）.所以
?u?tt?0?0
?2w??2d? 0?tt?2u?w?又
?t?t2??t
t
?2w?f(x,y,t)??2d?0?y?u?w?u?w?d?,?0d?2222???x?y?y0?x2t22t2
因为w满足齐次方程，故u满足
2?2u?2u2?u?f(x,y,t)?a(2?2) 2?t?x?y齐次化原理得证。由齐次方程柯西问题解的泊松公式知
w(x,y,t,?)?所以
12?a?a(t??)ta(t??)2?M??f(?,?,?)a(t??)?(??x)?(??y)2222d?d?
1u(x,y,t)?2?a?0即为所求的解。 所以 u(x,y,t)???00f(x?rcos?,y?rsin?,?)a(t??)?r222rdrd?
1ta(t??)2?f(x?rco?s,y?rsin?,?)rdr?dd? ???0002222?aa(t??)?r7．用降维法来解决上面的问题
解：推迟势
u(x,y,z,t)?14?a2???r?atrf(?,?,t?)adv r其中积分是在以(x,y,z)为中心，at为半径的球体中进行。它是柯西问题
2??utt?a(uxx?uyy?uzz)?f(x,y,z,t) ?
??ut?0?0,utt?0?0的解。对于二维问题u，f皆与z无关，故
u(x,y,t)?14?a2at???0SrM?rf(?,?,t?)adsdr r其中sr为以M(x,y,0)为中心r为半径的球面，即
MSrM:(??x)2?(??y)2??2?r2 ds?
rr?(??x)?(??y)222d?d?
??SrMrrrf(?,?,t?)f(?,?,t?)f(?,?,t?)ads?ads?ads
????rrrSM?SM?rr?2其中srM??rM??rf(?,?,t?)ad?d?
222r?(??x)?(??y)MM表示sr在?o?平面上的投影。 ,srM?分别表示srM的上半球面与下半球面，?r1所以 u(x,y,t)?2?a2at???0?rMrf(?,?,t?)ad?d?
222r?(??x)?(??y)r??)r2?f(x??cos?,y??sin?,t??1??a?d?d?????dr 2???222?a0?00r???????at在最外一层积分中，作变量置换，令t?r??，即r?a(t??),dr??ad?，当r?0时af(x??cos?,y??sin?,?)a(t??)??222??t，当r?at时，??0，得
1u(x,y,t)?2?a?0即为所求，与6题结果一致。
8． 非齐次方程的柯西问题
ta(t??)2???00?d?d?d?
?utt??u?2(y?t) ?2u?0,u?x?yztt?0?t?0解：由解的公式得
u(x,y,z,t)?计算
1?1ds???4?aS4?a2Mrat???r?atrf(?,?,?,t?)adVr(a?1)
StM??rds???[(x?rsin?cos?)00??2?2?(y?rsin?sin?)(z?rcos?)]??2??rsin?d?d?2222?(x?yz?2xrsin?cos??rsin?cos?r?t??00?yrcos??zrsin?sin??r2sin?cos?sin?)rsin?d?d?r?t
?2??2??00?sin?d?d??4?,
4sin?cos?d?d???, ?3032?002sin??cos?d?d??0
?2??2??0??sin?cos?d?d??0
00?2??所以
002?sin?sin?d?d??0,
?2??002si?co?ssi?nd?d??0. ?nStM???4ds?4?t(x2?yz)??t3 r3计算
???r?tf(?,?,?,t?r)2(y?rsin?sin??t?r)2dV????rsin?drd?d?
rrr?tt?2??2???(y?rsin?sin??t?r)rsin?drd?d?
000t??4???(y?t?r)rsin?drd?
003??1r42?8??(y?t)r???4?yt2??t3.
?23?3??0132213所以 u(x,y,z,t)?t(x?yz)?t?yt?t
33t ?t(x?yz?yt)
即为所求的解。
§5 能量不等式，波动方程解的唯一和稳定性
1． 设受摩擦力作用的固定端点的有界弦振动，满足方程
2 utt?auxx?cut
2证明其能量是减少的，并由此证明方程
utt?a2uxx?cut?f
的混合问题解的唯一性以及关于初始条件及自由项的稳定性。
证：1 首先证明能量是减少。
能量 E(t)?(ut?a2ux)dx
l??022
dE(t) ??(2ututt?2a2uxuxt)dx
dt0l0l0l?2?ututtdx?2a[uxut|??utuxxdx]
0022l2ll?2?ut(utt?auxx)dx?2auxut|
0因弦的两端固定， u|x?0?0,u|x?l?0,所以
ut|x?0?0,ut|x?l?0
dE(t)于是 ?2?ut(utt?a2uxx)dx
dt0 ??2cut2dx?0 (?c?0)
ll?0因此，随着t的增加，E(t)是减少的。
2 证明混合问题解的唯一性 混合问题:
.?utt?a2uxx?cut?f? ?u|x?0?0,u|x?l?0?u|??(x),u|??(x)tt?0?t?0设u1,u2是以上问题的解。令u?u1?u2,则u满足
?utt?a2uxx?cut? ?u|x?0?0,u|x?l?0
?u|?0,u|?0tt?0?t?02能量 E(t)?(ut2?a2ux)dx
l?0当t?0,利用初始条件有ut|t?0?0,由u|t?0?0,得
ux|t?0?0 所以 E(0)?0