2011年全国各地数学中考题汇编——压轴题
整理人：徐金勇（仪征市大仪中学）
2011.7.6
（黄冈市2011）24．（14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线y?交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．
⑴求b的值． ⑵求x1?x2的值
⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．
⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．
12x4y F M O l M1 F1 第22题图
N
x N1 ?y?kx?1?x?x1?x?x2答案：24．解：⑴b=1⑵显然?和?是方程组??12的两组
y?x?y?y1?y?y2??4解，解方程组消元得x2?kx?1?0，依据“根与系数关系”得x1?x2=－4
⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：
由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1?F1N1=－x1?x2=4，而FF1=2，所以F1M1?F1N1=F1F2，另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．
⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：
14
y 直线y=－1即为直线M1N1． 如图，设N点横坐标为m，则 l F P M O M1 F1 Q 第22题解答用图
N x N1
（黄石市2011年）24.（本小题满分9分）已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在
⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D。 （1）如图（8），若AC是⊙O2的直径，求证：AC?CD； （2）如图(9)，若C是⊙O1外一点，求证：O1C?AD；
（3）如图（10），若C是⊙O1内一点，判断（2）中的结论是否成立。
答案：24．（9分）证明：（1）如图（一），连接AB，CO1
∵AC为⊙O2的直径 ∴DB?AB ∴AD为⊙O1的直径 ∴O1在AD上 又CO1?AD，O1为AD的中点
∴△ACD是以AD为底边的等腰三角形
∴AC?CD ············································································ （3分） （2）如图（二），连接AO1，并延长AO1交⊙O1与点E，连ED
∵四边形AEDB内接于⊙O1 ∴?ABC??E
AC??AC ∴?E??AO1C 又∵?∴CO1//ED
又AE为⊙O1的直径 ∴ED?AD
∴CO1?AD ·········································································· （3分） （3）如图（三），连接AO1，并延长AO1交⊙O1与点E，连ED
∵?B??EO1C 又?E??B ∴?EO1C??E
∴CO1//ED 又ED?AD
∴CO1?AD ·········································································· （3分）
（黄石市2011年）25.（本小题满分10分）已知二次函数y?x2?2mx?4m?8
（1）当x?2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围。
（2）以抛物线y?x?2mx?4m?8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形
，请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？AMN（M，N两点在抛物线上）
若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
（3）若抛物线y?x?2mx?4m?8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值。
22y 0 x A
22答案：25．（10分）解：（1）∵y?(x?m)?4m?8?m
∴由题意得，m?2 ································································ （3分） （2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知MN?y轴，设抛物线的对
称轴与MN交于点B，则AB?3BM。设M(a,b) ∴BM?a?m(m?a)
又AB?yB?yA?b?(4m?8?m)
2?a2?2ma?4m?8?(4m?8?m2)
?a2?2ma?m2?(a?m)2
2∴(a?m)?3(a?m) ∴a?m?3 ∴BM?3，AB?3 ∴S?AMN?
211··········· （3分） AB?2BM??3?2?3?33定值 ·
22y B M N 0 A x （3）令y?0，即x?2mx?4m?8?0时，有
2m?2m2?4m?8x??m?(m?2)2?4 2由题意，(m?2)?4为完全平方数，令(m?2)?4?n 即(n?m?2)(n?m?2)?4
∵m,n为整数， ∴n?m?2,n?m?2的奇偶性相同
222?n?m?2?2?n?m?2??2∴?或?
n?m?2?2n?m?2??2??解得??m?2?m?2或?
?n?2?n??2
综合得m?2
（2011年广东茂名市）如图，⊙P与y轴相切于坐标原点O（0，0），与x轴相交于点A
（5，0），过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．
（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分） （2）若AC=a, D是OＢ的中点．问：点O、P、C、D四点是
否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记
这个圆的圆心为O1，函数y?解：
六、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 24、解：（1）解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB， 在Rt△AOC中，OC?OA?AC?25?9?4，1分 在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB ∴Rt△AOC∽Rt△ABO，22222222222222222222222222222分 ∴
22y
k的图象经过点O1，求k的xχ
值（用含a的代数式表示）． （４分）
第24题图
y
χ
第24题备用图
ACAO35，即?， 222222222222222222223分 ?COOB4OB2020 ∴OB? ， ∴B(0,)222222222222222222224分
33 解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径， ∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4， 2222222222221分
11?OA?CE??CA?OC， 221112即：?5?CE??3?4，∴CE?，22222222222222222222222222分
225122161612222∴OE?OC?CE?4?()? ∴C(,)，2222222223分
5555过C作CE⊥OA于点E，则：