又∵PQ⊥MN
51211PQ?MN＝(1?t)2?4＝t－t＋
2222∵0≤t≤2
∴当t＝1时，S最小值＝2．
51综上：S＝t2－t＋，S的最小值为2．
22∴S＝
??
（江苏省宿迁市2011年）28．（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，
1AB＝1，BC＝，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD
2为半径的弧交AB于点E． （1）求AE的长度；
（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．
F解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝ ∵BC＝CD，AE＝AD
151得 AC＝12?()2＝ 222G5?1． 2 （2）∠EAG＝36°，理由如下：
∴AE＝AC－AD＝
∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝
∴
AEDB5?1 25?1AE＝ （第28题）
2FA∴△FAE是黄金三角形
∴∠F＝36°，∠AEF＝72° ∵AE＝AG，FA＝FE
∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE ∴△AEG∽△FEA
∴∠EAG＝∠F＝36°．
（2011年广东省）10．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，
它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去?，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为_________________．
A A A A1 A1 F E F E E F A 2F1 F1 E1 E1 F2 E2
B1
CB D 题10图（1）
C1 D1 D 题10图（2）
C B B1 B2 C D2 C2 C1 C D1 D 题10图（3）
答案：
1 256（2011年广东省）21．如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，
AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90o，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)
A（D） A（D） F
F
H G C C（E） B B
E
题21图(1) 题21图(2)
（1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；
（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由） （3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.
（1）、△HAB △HGA； （2）、由△AGC∽△HAB，得AC/HB=GC/AB，即9/y=x/9，故y=81/x (0 ①当∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角时，如图（1）：可知CG=x=92/2 ②当∠GAH= 45°是等腰三角形.的顶角时, 如图（2）：由△HGA∽△HAB 知：HB= AB=9，也可知BG=HC，可得：CG=x=18-92 A （D） A （D） B B G E C （H） F G E H F C 图（1） 图（2） （2011年凉山州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1?x2， 与y轴交于点C?0,?4?，其中x1，x2是方程x?4x?12?0的两个根。 2（1）求抛物线的解析式； （2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标； （3）点D?4,k?在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由。 y O M A B x N C 28题图 228．（1）∵x?4x?12?0，∴x1??2，x2?6。 ∴A(?2,0)，B(6,0)。222222222222222222221分 又∵抛物线过点A、B、C， 故设抛物线的解析式为y?a(x?2)(x?6)， 1。 3124 ∴抛物线的解析式为y?x?x?4。222222223分 33（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NH?x轴于点H（如图（1））。 ∵点A的坐标为（?2，0），点B的坐标为（6，0）， ∴AB?8，AM?m?2。2222222222222222222222222224分 ∵MN?BC，∴△MN∥△ABC。 NHAMNHm?2m?2∴，∴，∴NH?。222222222222222225分 ??COAB48211y ∴S△CMN?S△ACM?S△AMN??AM?CO?AM?NH 221m?21222226分 ?(m?2)(4?)??m2?m?3 2 2241F2 F1 ??(m?2)2?4。 4B x A O ∴当m?2时，S△CMN有最大值4。 此时，点M的坐标为（2，0）。222222222222227分 D E 将点C的坐标代入，求得a?图（2） （3）∵点D（4，k）在抛物线y?124x?x?4上， 33y ∴当x?4时，k??4， ∴点D的坐标是（4，?4）。 如图（2），当AF为平行四边形的边时，AFDE， ∵D（4，?4），∴E（0，?4），DE?4。 ∴F1(?6,0)，F2(2,0)。 22222222229分 ① 如图（3），当AF为平行四边形的对角线时， 设F(n,0)，则平行四边形的对称中心为 （ E? A E? F3 O D 图（3） B F4 x n?2，0）。2222222222222222210分 2∴E?的坐标为（n?6，4）。 1242把E?（n?6，4）代入y?x?x?4，得n?16n?36?0。 33解得 n?8?27。 F3(8?27,0)，F4(8?27,0)。2222 （盐城市二○一一年）27．（本题满分12分） 情境观察 将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示． 观察图2可知：与BC相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °． 问题探究 如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论. C'DCDC'CCABA'ABDA(A')B图1 图2 EQAPFBG图3 C 拓展延伸 如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF 之间的数量关系，并说明理由. AMNBG图4 EHFC 27.解：情境观察 AD（或A′D），90 问题探究 结论：EP=FQ. 证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°. ∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP. ∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP. 同理AG=FQ. ∴EP=FQ. 拓展延伸 结论： HE=HF. 理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q. ∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°， ∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°， ∴∠ABG=∠EAP. MNGCEPHQAFAGAB∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ = . EPEABAGAC 同理△ACG∽△FAQ，∴ = . FPFAABACAGAG ∵AB=k AE，AC=k AF，∴ = =k，∴ = . ∴EP=FQ. EAFAEPFP ∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF （盐城市二○一一年）28．（本题满分12分）如图，已知一次函数y =-x +7与正比例函 4 数y=x的图象交于点A，且与x轴交于点B. 3 （1）求点A和点B的坐标； （2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒