1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
yy=-x+7A4y=x3yy=-x+7A4y=x3BOxO（备用图）
Bxy=-x+7???x=3
28．解：（1）根据题意，得?4，解得 ?y=4，∴A(3，4) .
?y=x??3
令y=-x+7=0，得x=7．∴B（7，0）.
（2）①当P在OC上运动时，0≤t＜4. 由S△APR=S梯形COBA-S△ACP-S△POR-S△ARB=8，得 1111
(3+7)34-333(4-t)- t(7-t)- t34=8 2222整理,得t-8t+12=0, 解之得t1=2,t2=6（舍） 当P在CA上运动，4≤t＜7.
2
yCPAlBORxyCPlABORx
1
由S△APR= 3(7-t) 34=8，得t=3（舍）
2
∴当t=2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8. ②当P在OC上运动时，0≤t＜4. ∴AP=（4-t）+3，AQ=2t，PQ=7-t 当AP =AQ时， （4-t）+3=2(4-t), 整理得，t-8t+7=0. ∴t=1, t=7(舍) 当AP=PQ时，（4-t）+3=(7-t), 整理得，6t=24. ∴t=4(舍去) 当AQ=PQ时，2（4-t）=(7-t) 整理得，t-2t-17=0 ∴t=1±32 (舍)
当P在CA上运动时，4≤t＜7. 过A作AD⊥OB于
D,则AD=BD=4.
设直线l交AC于E，则QE⊥AC，AE=RD=t-4，AP=7-t.
5AEAC
由cos∠OAC= = ，得AQ = (t-4)．
AQAO3541
当AP=AQ时，7-t = (t-4)，解得t = .
381
当AQ=PQ时，AE＝PE，即AE= AP
21
得t-4= (7-t)，解得t =5.
2当AP=PQ时，过P作PF⊥AQ于F 115
AF= AQ = 3(t-4).
223在Rt△APF中，由cos∠PAF＝
ORD2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
yCPAlQBORxyClPEQAFBx33AF
＝ ，得AF＝ AP AP55
153226
即 3(t-4)= 3(7-t)，解得t= . 23543
41226
∴综上所述，t=1或 或5或 时，△APQ是等腰三角形.
843
（20112济宁）如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=kx+3。 (1) 设点P的纵坐标为p，写出p随变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
32(3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的25k值；若不存在，请说明理由。
A y M P D C N O 第23题 B x
23、解：（1）、
∵y轴和直线l都是⊙C的切线 ∴OA⊥AD BD⊥AD 又∵ OA⊥OB
∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90° ∴四边形OADB是矩形 ∵⊙C的半径为2 ∴AD=OB=4
∵点P在直线l上
∴点P的坐标为（4，p） 又∵点P也在直线AP上 ∴p=4k+3
（2）连接DN
∵AD是⊙C的直径 ∴ ∠AND=90°
∵ ∠AND=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN ∴∠AND=∠ABD
又∵∠ADN=∠AMN ∴∠ABD=∠AMN …………4分 ∵∠MAN=∠BAP …………5分 ∴△AMN∽△ABP …………6分 (3)存在。 …………7分 理由：把x=0代入y=kx+3得y=3，即OA=BD=3 AB=
y M P D C A N O 第23题 B x AD2?BD2?42?32?5
11AB2DN=AD2DB 22AD?DB4?312∴DN==?
AB551222562 ∴AN2=AD2-DN2=4?()?
525∵ S△ABD=
∵△AMN∽△ABP ∴
S?AMNS?AMNAN2?S?ABPAN2AN2?() 即S?AMN?()?S?ABP? ……8分
APAPAP2当点P在B点上方时，
∵AP2=AD2+PD2 = AD2+(PB-BD)2 =42+(4k+3-3)2 =16(k2+1) 或AP2=AD2+PD2 = AD2+(BD-PB)2 =42+(3-4k-3)2 =16(k2+1) S△ABP= ∴S?AMN11PB2AD=(4k+3)34=2(4k+3) 22AN2?S?ABP256?2(4k?3)32(4k?3)32????
AP225?16(k2?1)25(k2?1)25整理得k2-4k-2=0 解得k1 =2+6 k2=2-6 …………9分
当点P在B 点下方时，
∵AP2=AD2+PD2 =42+(3-4k-3)2 =16(k2+1) S△ABP= ∴S?AMN11PB2AD=[-(4k+3)]34=-2(4k+3) 22AN2?S?ABP?256?2(4k?3)32???
25AP225?16(k2?1) 化简，得k2+1=-（4k+3） 解得k=-2
综合以上所得，当k=2±6或k=-2时，△AMN的面积等于
32 …10分 25（株洲市2011年）24．（本题满分10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学
们一起研究某条抛物线y?ax(a?0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题： （1）若测得OA?OB?22（如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF?x轴于点F，测得OF?1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标； ．．．
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连
线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
2
24.解： yOxABEOyFBxA图1 图2 （1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
? OA?OB?22，?AOB?90?，
?AC?OC?BC?2，?B(2，?2) ??? 2分
将B(2，?2)代入抛物线y?ax(a?0)得，a??
21. ??? 3分 2
（2）解法一：过点A作AE?x轴于点E，
1?点B的横坐标为1，?B (1，?)， ??? 4分
2?BF?1. 又? ?AOB?90?，易知?AOE??OBF，又?AEO??OFB?90?， 2?△AEO∽△OFB，?AEOF1???2 ?AE?2OE ??? 5分 yOEBF12EOFBx111设点A（?m，?m2）（m?0），则OE?m，AE?m2，?m2?2m 222?m?4，即点A的横坐标为?4. ??? 6分
解法二：过点A作AE?x轴于点E，
1?点B的横坐标为1，?B (1，?)， ??? 4分
2A ?tan?OBF?OF1??2 BF12? ?AOB?90?，易知?AOE??OBF， ?AE?tan?AOE?tan?OBF?2，?AE?2OE ??? 5分 OE121212（m?0），则OE?m，AE?m，?m?2m m）222设点A（-m，??m?4，即点A的横坐标为?4. ??? 6分
解法三：过点A作AE?x轴于点E，
1?点B的横坐标为1，?B (1，?)， ??? 4分
2设A（-m，?12（m?0），则 m）215111OB2?12?()2?，OA2?m2?m4，AB2?(1?m)2?(??m2)2，
24422? ?AOB?90??AB2?OA2?OB2，
1111?(1?m)2?(??m2)2?(1?m)2?(??m2)2，
2222解得：m?4，即点A的横坐标为?4. ??? 6分