∴点C的坐标是(0，3)
由题意可设抛物线的函数解析式为y?a(x?1)(x?3)，把C(0，3)代入
函数解析式得a??3 3 所以，抛物线的函数解析式为y??3(x?1)(x?3) 3(2)解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF 理由如下：
可求得直线l1的解析式为y??3x?3，直线l2的解析式为y? 抛物线的对称轴为直线x?1
由此可求得点K的坐标为(?1，23)，点D的坐标为(?1，
3x?3 343)，点E的坐3标为(?1，
23)，点F的坐标为(?1，0) 3 ∴KD=
232323，DE=，EF= 333 ∴KD=DE=EF
解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF 理由如下：
由题意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，则可得 EF?BF?tan30??23，KF?AF?tan60??23， 3 由顶点D坐标(?1，
4343)得DF?
33 ∴KD=DE=EF=
23 3(3)解法1：(i)以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点M1，由抛物线对称
性可知点M1为点C关于直线x??1的对称点
∴点M1的坐标为(?2，3)，此时△M1CK为等腰三角形
(ii)当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点M1和点A，
而三点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形
(iii)作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且l1?l2，可知l经过点D， ∴KD=DC
此时，有点M2即点D坐标为(?1，
43)，使△M2CK为等腰三角形； 343)时，△MCK为等腰3 综上所述，当点M的坐标分别为(?2，3)，(?1，
三角形。
解法2：当点M的坐标分别为(?2，3)，(?1， 理由如下：
43)时，△MCK为等腰三角形。 3 (i)连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为(?2，3) 又∵点C的坐标为(0，3)，则GC∥AB
∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形 ∴△CGK为正三角形
∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为(?2，3) (ii)连接CD，由KD=
23，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形 343) 3 ∴当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为(?1，
(iii)当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，但点
A、C、K在同一直线上，不能构成三角形 综上所述，当点M的坐标分别为(?2，3)，(?1，
角形。
43)时，△MCK为等腰三 3（2011年凉山州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1?x2，
与y轴交于点C?0,?4?，其中x1，x2是方程x?4x?12?0的两个根。
2（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
（3）点D?4,k?在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由。 y
O M
A B x
N C
28题图
228. （1）∵x?4x?12?0，∴x1??2，x2?6。
∴A(?2,0)，B(6,0)。22222222222222222222222221分
又∵抛物线过点A、B、C，故设抛物线的解析式为y?a(x?2)(x?6)，将点C的坐标代入，求得a?1。 312422222222222222223分 x?x?4。
33（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NH?x轴于点H（如图（1））。
∵点A的坐标为（?2，0），点B的坐标为（6，0）， ∴AB?8，AM?m?2。2222222222222222222222222224分
∴抛物线的解析式为y?∵MN?BC，∴△MN∥△ABC。
NHAMNHm?2m?2，∴，∴NH?。222222222222222225分 ??COAB48211∴S△CMN?S△ACM?S△AMN??AM?CO?AM?NH
221m?21222222222222222222222222226分 ?(m?2)(4?)??m2?m?3 2
2241??(m?2)2?4。
4∴
∴当m?2时，S△CMN有最大值4。
此时，点M的坐标为（2，0）。22222222222222222222222222222222222227分 （3）∵点D（4，k）在抛物线y?124x?x?4上， 33
∴当x?4时，k??4， ∴点D的坐标是（4，?4）。 ② 如图（2），当AF为平行四边形的边时，AFDE，
∵D（4，?4），∴错误！链接无效。DE?4。
∴F1(?6,0)，F2(2,0)。 2222222222222222222222222229分 ③ 如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F(n,0)， 则平行四边形的对称中心为（∴E?的坐标为（n?6，4）。 把E?（n?6，4）代入y?解得 n?8?27。
n?2，0）。 22222222222222222210分 2124x?x?4，得n2?16n?36?0。 33F3(8?27,0)，F4(8?27,0)。222222222222222222222222212分
y y y H O M A N C 图（1）
B x F1 A O F2 B x E 图（2）
D E? F3 A O E? B E 图（3）
D
F4 x
（芜湖2011）本小题满分14分)
平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(?1，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'。
(1)若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；
(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长； (3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△AMA'的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标。
24．(本小题满分l4分)
解：(1)∵?A'B'OC'由?ABOC旋转得到，且点A的坐标为(0，3)， 点A'的坐标为(3，0)。
所以抛物线过点C(-1，0)，A(0，3)，A' (3，0)设抛物线的解析式为
y?ax2?bx?c(a?0)，可得 ?a??1?a?b?c?0?? ?c?3解得?b?2
?c?3?9a?3b?c?0?? ∴过点C，A，A'的抛物线的解析式为y??x2?2x?3。 (2)因为AB∥CO，所以∠OAB=∠AOC=90°。
∴OB?OA2?AB2?10,又?OC'D??OCA??B.
?C'OD??BOA,∴?C'OD??BOA 又OC'?OC?1,
∴
?C'OD的周长OC'1=?,又△ABO的周长为4?10。
?BOA的周长OB10